L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants de la commune, soit à des entreprises. On admet que :

• parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur) ;
• 45\text{,}9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune ;
• les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard. On considère les événements suivants :

• \text{C} : « l'arbre abattu est un chêne » ;
• \text{S} : « l'arbre abattu est un sapin » ;
• \text{E} : « l'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire » ;
• \text{H} : « l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».

Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations \text{U} et \text{V} en paquets de 1 kg et de différentes qualités. Le sucre extra-fin est conditionné séparément dans des paquets portant le label « extra-fin ». Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. On sait que 3 % du sucre provenant de l'exploitation \text{U} est extra-fin et que 5 % du sucre provenant de l'exploitation \text{V} est extra-fin.
On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l'entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s'intéresse à la provenance de ce paquet. On considère les événements suivants :

• \text{U} : « le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation \text{U} » ;
• \text{V} : « le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation \text{V} » ;
• \text{E} : « le paquet porte le label “extra-fin” ».

La municipalité d'une grande ville dispose d'un stock de DVD qu'elle propose en location aux usagers des différentes médiathèques de cette ville.
Afin de renouveler son offre de location, la municipalité décide de retirer des DVD de son stock.
Parmi les DVD retirés, certains sont défectueux, d'autres non. Parmi les 6 % de DVD défectueux sur l'ensemble du stock, 98 % sont retirés.
On admet par ailleurs que, parmi les DVD non défectueux, 92 % sont maintenus dans le stock et les autres sont retirés.
On choisit un DVD au hasard dans le stock de la municipalité. On considère les événements suivants :

• \text{D} : « le DVD est défectueux » ;
• \text{R} : « le DVD est retiré du stock ».

On note \overline \text{D} et \overline \text{R} les événements complémentaires respectifs des événements \text{D} et \text{R.}

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d'une ville. La vaccination contre la grippe est possible mais elle doit être renouvelée chaque année. L'efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées ou en raison du vaccin, qui n'est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude menée dans la population de la ville à l'issue de la période hivernale a permis de constater que :

• 40 % de la population est vaccinée ;
• 8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
• 20 % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

• \text{V} : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
• \text{G} : « la personne a contracté la grippe ».

Le chikungunya est une maladie virale transmise d'un être humain à l'autre par les piqûres de moustiques femelles infectées. Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

• la probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de 0\text{,}98\: ;
• la probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de 0\text{,}01.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population « cible ». Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

• \text{M} l'événement : « l'individu choisi est atteint du chikungunya » ;
• \text{T} l'événement : « le test de l'individu choisi est positif ».

On notera \overline { \mathrm {M} } l'événement complémentaire de l'événement \text{M.} On notera \overline { \mathrm {T} } l'événement complémentaire de l'événement \text{T.} On note p ( 0 \leqslant p \leqslant 1 ) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité :

• soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est « de type S » ;
• soit malade (atteint par le virus) ;
• soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus. Pour tout entier naturel n , le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

• parmi les individus de type S en semaine n , on observe qu'en semaine n + 1 : 85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;
• parmi les individus malades en semaine n , on observe qu'en semaine n + 1 : 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés ;
• tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1 .

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

• \text{S}_n : « l'individu est de type S en semaine n » ;
• \text{M}_n : « l'individu est malade en semaine n » ;
• \text{I}_n : « l'individu est immunisé en semaine n ».

En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes : \text{P} \left( \text{S} _ { 0 } \right) = 1 \:; \text{P} \left( \text{M} _ { 0 } \right) = 0 et \text{P} \left( \text{I} _ { 0 } \right) = 0.