Mathématiques 1re Spécialité
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Rappels de seconde
Chapitre 5
Activités
Applications de la dérivation
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ATangente et sens de variation
Objectif : Faire le lien entre les tangentes à une courbe et les variations d'une fonction.
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On a représenté ci-dessous les courbes \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g qui représentent respectivement les fonctions f et g .
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1
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe \mathcal{C}_f qui soit la représentation d'une fonction affine croissante ?
2
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe \mathcal{C}_f qui soit la représentation d'une fonction affine décroissante ?
3
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe \mathcal{C}_g qui soit la représentation d'une fonction affine croissante ?
4
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe \mathcal{C}_g qui soit la représentation d'une fonction affine croissante ?
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Bilan
Compléter les conjectures suivantes.
Puisque f est croissante sur son ensemble de définition, alors toutes les tangentes à la courbe \mathcal{C}_f .
Puisque g est décroissante sur son ensemble de définition, alors toutes les tangentes à la courbe \mathcal{C}_g .
Bilan
Compléter les conjectures suivantes.Puisque f est croissante sur son ensemble de définition, alors toutes les tangentes à la courbe \mathcal{C}_f
Puisque g est décroissante sur son ensemble de définition, alors toutes les tangentes à la courbe \mathcal{C}_g
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BDérivée et sens de variation
Objectif : Trouver un lien entre le sens de variation d'une fonction et le signe de sa dérivée.
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g est la fonction définie sur \R par g(x) = x^4 - 4x^3 .
g ^ { \prime } est la fonction dérivée de g .
On donne ci-contre la courbe \mathcal{C}_g représentative de la fonction g dans un repère orthogonal.
g ^ { \prime } est la fonction dérivée de g .
On donne ci-contre la courbe \mathcal{C}_g représentative de la fonction g dans un repère orthogonal.
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1
Déterminer graphiquement le sens de variation de la fonction g puis dresser le tableau de variations de g sur \R. On calculera la valeur des éventuels extremums.
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2
Montrer que, pour tout x \in \mathbb { R } ,\:g ^ { \prime } ( x ) = 4 x ^ { 2 } ( x - 3 ).
3
Dresser le tableau de signes de g ^ { \prime }.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
4
a) Quel est le signe de g ^ { \prime } ( x ) sur l'intervalle ] - \infty \: ; 3 ] \: ?
b) Quel est le sens de variation de g sur ] - \infty \: ; 3 ] \: ?
b) Quel est le sens de variation de g sur [ 3 \: ; +\infty [ \: ?
b) La fonction g change-t-elle de variation entre –1 et 1\: ?
a) Représenter à la calculatrice la fonction f .
b) Démontrer que, pour tout {x \in \mathbb { R } , f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 1 } { 2 } ( x + 2 ) ( x - 1 ) ^ { 2 }.}
c) Répondre aux questions
5
a) Quel est le signe de g ^ { \prime } ( x ) sur l'intervalle [ 3 \: ; +\infty [ \: ?
b) Quel est le sens de variation de g sur [ 3 \: ; +\infty [ \: ?
6
a) La fonction g ^ { \prime } change-t-elle de signe entre –1 et 1\: ?
b) La fonction g change-t-elle de variation entre –1 et 1\: ?
7
On considère la fonction f définie sur \R par {f ( x ) = \dfrac { 1 } { 8 } x ^ { 4 } - \dfrac { 3 } { 4 } x ^ { 2 } + x - \dfrac { 1 } { 2 }.}
a) Représenter à la calculatrice la fonction f .
b) Démontrer que, pour tout {x \in \mathbb { R } , f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 1 } { 2 } ( x + 2 ) ( x - 1 ) ^ { 2 }.}
c) Répondre aux questions
3
à 6
avec les fonctions f et f ^ { \prime } en choisissant les bons intervalles.
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BilanÉmettre une conjecture sur le lien qui semble exister entre le signe de la dérivée d'une fonction et le sens de variation de cette fonction ?
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CDérivée et extremums
Objectif : Trouver un lien entre les extremums d'une fonction et les valeurs de sa dérivée.
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On donne ci-dessous la courbe \mathcal{C} représentative d'une fonction h définie et dérivable sur l'intervalle [-4 \: ; 4] ainsi
que la courbe \mathcal{C ^ { \prime }} représentative de la fonction h ^ { \prime }, fonction dérivée de h .
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1
Pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction h ^ { \prime } s'annule-t-elle ?
2
Pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction h ^ { \prime } s'annule-t-elle en changeant de signe ?
3
Pour quelle(s) valeur(s) de x la courbe \mathcal{C} admet-elle une (des) tangente(s) parallèle(s) à l'axe des abscisses ?
4
Pour quelle valeur de x la fonction h change-t-elle de sens de variation ?
5
Pour quelle valeur de x la fonction h atteint-elle son minimum ?
6
On considère la fonction f de l'activité précédente définie sur \R par f ( x ) = \dfrac { 1 } { 8 } x ^ { 4 } - \dfrac { 3 } { 4 } x ^ { 2 } + x - \dfrac { 1 } { 2 } ainsi que sa fonction dérivée f ^ { \prime } définie sur \R par f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 1 } { 2 } ( x + 2 ) ( x - 1 ) ^ { 2 }.a) Représenter la courbe de ces deux fonctions à la calculatrice.
b) Répondre aux questions
5
avec les fonctions f et f ^ { \prime }.
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BilanÉmettre une conjecture sur le lien qui semble exister entre le minimum d'une fonction et le signe de sa dérivée.
Bilan
Émettre une conjecture sur le lien qui semble exister entre le minimum d'une fonction et le signe de sa dérivée.
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