Mathématiques 1re Spécialité

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Chapitre 5
Entraînement 1

Dérivée et sens de variation

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
29
;
31
 ;
40
 ;
42
 ;
57
 ;
59
 ;
75
 et
82
Parcours 2 : exercices
33
 ;
39
 ;
47
 ;
63
 ;
68
 ;
77
 ;
79
 ;
85
 et
95
Parcours 3 : exercices
37
 ;
49
 ;
56
 ;
71
 et
89
 ;
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29

La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-2 \: ; 5].

Dérivée et sens de variation


1. Par lecture graphique, déterminer le sens de variation de f sur [-2 \: ; 5].

2. Donner, suivant les valeurs de x , le signe de f ^ { \prime } ( x ) sur l'intervalle [-2 \: ; 5].
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30
 [Chercher.]
La courbe ci-dessous représente une fonction g définie et dérivable sur l'intervalle [-4 \: ; 2].

Dérivée et sens de variation


1. Par lecture graphique, déterminer le sens de variation de g sur [-4 \: ; 2].

2. Donner, suivant les valeurs de x , le signe de g ^ { \prime } ( x ) sur l'intervalle [-4 \: ; 2].
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31

La courbe ci-dessous représente une fonction h définie et dérivable sur l'intervalle [-2 \: ; 6].

Dérivée et sens de variation


1. Par lecture graphique, déterminer le sens de variation de h sur [-2 \: ; 6].

2. Donner, suivant les valeurs de x , le signe de h ^ { \prime } ( x ) sur l'intervalle [-2 \: ; 6].
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32
 [Chercher.]
f est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle \mathrm { I } = [ 2 \: ; 8 ]. Le tableau ci-dessous donne le signe de f ^ { \prime } ( x ) sur \text{I.}

Placeholder pour Dérivée et sens de variationDérivée et sens de variation


Dresser le tableau de variations de f sur \text{I.}

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33
 [Représenter.]

g est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle \mathrm { I } = [ 0 \: ; + \infty [. Le tableau ci-dessous donne le signe de g ^ { \prime } ( x ) sur \text{I.}

Placeholder pour Dérivée et sens de variationDérivée et sens de variation
1. Sachant que g(3) = -1 et g(6) = 2 , dresser le tableau de variations de g .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin


2. Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction g .

Dérivée et sens de variation
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34
 [Chercher.]
h est une fonction définie et dérivable sur \text{I} = [-2 \: ; 3]. La courbe ci-dessous représente la fonction dérivée h ^ { \prime } de h sur \text{I.}

Dérivée et sens de variation

Dresser le tableau de variations de h sur \text{I.}

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35
 [Représenter.]
f est la fonction définie sur \R par f(x) = x^2 + 4x - 5 . f ^ { \prime } est la fonction dérivée de f sur \R .
1. Déterminer f ^ { \prime } ( x ) puis étudier son signe en fonction de x \in \mathbb { R }.


2. Établir le tableau de variations de f .

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3. Vérifier la cohérence du résultat précédent avec la courbe affichée sur l'écran de la calculatrice.
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36
 [Chercher.]
Chaque courbe est la représentation graphique de la fonction dérivée f ^ { \prime } d'une fonction f définie et dérivable sur un ensemble \mathcal { D }. En s'aidant de ces représentations :

Dérivée et sens de variation
1. Dresser le tableau de variations de f sur \mathcal { D }.

Courbe rouge :
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Courbe bleu :
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Courbe orange :
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Courbe violette :
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2. Dans chacun des repères, tracer une courbe susceptible de représenter f .
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37
 [Chercher.]

f est une fonction définie sur ] 0 \: ; + \infty [. La représentation graphique de f est donnée ci-dessous.

Dérivée et sens de variation


Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, laquelle est susceptible de représenter la fonction f ^ { \prime }, fonction dérivée de la fonction f sur ] 0 \: ; + \infty [ \: ? Justifier.

Dérivée et sens de variation
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38
 [Chercher.]
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f dans un repère orthonormé.

Dérivée et sens de variation


L'une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction dérivée f ^ { \prime } de f . Laquelle ?

Dérivée et sens de variation
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39
 [Chercher.]

On note respectivement \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3 les courbes représentatives des fonctions f_1, f_2 et f_3 définies sur \R.
Dérivée et sens de variation


Dérivée et sens de variation


Dérivée et sens de variation


Des trois fonctions f_1, f_2 et f_3, laquelle a pour fonction dérivée une fonction dont la représentation graphique est donnée ci-dessous ? Justifier.

Dérivée et sens de variation
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40

On considère la fonction f dont la représentation graphique dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Dérivée et sens de variation


Parmi les trois courbes suivantes, quelle est la seule susceptible de représenter la fonction dérivée de f \:?

Dérivée et sens de variation
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41
 [Calculer.]
f est la fonction définie par f(x) = -x^3 + x^2 - x . f ^ { \prime } est la fonction dérivée de f .
1. Préciser \mathcal { D } _ { f }, ensemble de définition et de dérivabilité de f .

2. Calculer f ^ { \prime } ( x ) puis vérifier que, pour tout x \in \mathcal { D } _ { f }, f ^ { \prime } ( x ) = - 2 x ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }.

3. Étudier le signe de f ^ { \prime } ( x ) puis dresser le tableau de variations de f sur \mathcal { D } _ { f }.


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Pour les exercices
42
à
50

On considère une fonction f définie sur \mathcal{D}_f et on note f ^ { \prime } sa fonction dérivée.
Dans chaque cas :

1. Déterminer \mathcal{D}_f.
2. Justifier en une phrase que f est effectivement dérivable sur \mathcal{D}_f et déterminer f ^ { \prime }(x) sur cet ensemble.
3. Étudier le signe de f ^ { \prime }(x) en fonction de x et dresser alors le tableau de variations de f sur \mathcal{D}_f.
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42
 [Calculer.]

f est la fonction définie par f(x) = -x^2 + 4x + 5 .
1.

2.

3.


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43
 [Calculer.]
f est la fonction définie par f(x) = 2x^2 + 6x - 8 .
1.

2.

3.


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44
 [Calculer.]
f est la fonction définie par f(x) = -x^3 + 3x.
1.

2.

3.


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45
 [Calculer.]
f est la fonction définie par f(x) = x^3 - x^2 - x +1.
1.

2.

3.


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46
 [Calculer.]
f est la fonction définie par f(x) = x^4 - 8x^2 +8.
1.

2.

3.


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47
 [Calculer.]

f est la fonction définie par f ( x ) = \dfrac { x + 2 } { x - 1 }.
1.

2.

3.


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48
 [Calculer.]
f est la fonction définie par f ( x ) = \dfrac { -4x } { x^2 + 1 }.
1.

2.

3.


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49
 [Calculer.]

f est la fonction définie par f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - x - 2 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } }.
1.

2.

3.


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50
 [Calculer.]
f est la fonction définie par f ( x ) = x - 1 + \dfrac { 4 } { x - 2 }.
1.

2.

3.


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51
 [Calculer.]
f est la fonction définie par f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } + 3 } { x + 1 }.

1. Préciser l'ensemble de définition de f .

2. Calculer f ^ { \prime } ( x ) puis vérifier que f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { ( x - 1 ) ( x + 3 ) } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }.


3. Étudier le signe de f ^ { \prime } ( x ) puis dresser le tableau de variations de f sur son ensemble de définition.

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52
 [Calculer.]
f est la fonction définie sur \R par f ( x ) = \dfrac { - x ^ { 2 } + 8 x - 13 } { x ^ { 2 } - 4 x + 5 } et on note f ^ { \prime } la fonction dérivée de f sur \R.

1. Démontrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { - 4 ( x - 1 ) ( x - 3 ) } { \left( x ^ { 2 } - 4 x + 5 \right) ^ { 2 } }.

2. Étudier, en fonction de x \in \mathbb { R }, le signe de f ^ { \prime } ( x ) puis dresser le tableau de variations de f .


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53
 [Raisonner.]
On considère la proposition suivante :
« Si f est une fonction définie et dérivable sur \R et pour tout x \in \mathbb { R } , f ^ { \prime } ( x ) \leqslant 0 , alors f ( - 4 ) \geqslant f ( 3 ) ».

1. Cette proposition est-elle vraie ? Justifier.

2. La proposition reste-t-elle vraie si l'on remplace \R par \R^* \:?
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54
Vrai / Faux
[Raisonner.]
f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I.} Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

Affirmation 1 : Si f ^ { \prime } ( x ) \gt 0 sur \text{I} alors f est strictement croissante sur \text{I.}

Affirmation 2 : Si f est strictement croissante sur \text{I} alors f ^ { \prime } ( x ) \gt 0 sur \text{I.}
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55
 [Calculer.]
f est une fonction définie et dérivable sur \R. f ^ { \prime } est la fonction dérivée de f .
On sait de plus que f est croissante sur ] - \infty \: ; 2 ] et décroissante sur [ 2\: ; + \infty [.

1. Quel est le signe de f ^ { \prime } sur ] - \infty \: ; 2 ] \: ?

2. Quel est le signe de f ^ { \prime } sur [ 2\: ; + \infty [ \: ?
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56
 [Calculer.]

h est la fonction définie sur ] 0 \:; + \infty [ par h ( x ) = \dfrac { x + 1 } { \sqrt { x } }. h ^ { \prime } est la fonction dérivée de h .

1. Justifier la dérivabilité de h sur ] 0 \:; + \infty [.

2.Vérifier que h ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { x - 1 } { 2 x \sqrt { x } }.

3. En déduire les variations de h sur ] 0 \:; + \infty [.
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