Mathématiques 1re Spécialité
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Chapitre 5
Travailler ensemble
Construction d'une route
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Le but de cet exercice est de minimiser le coût de construction d'une autoroute reliant deux villes \text{A} et \text{D.}
La partie \text{[AC]} existe déjà, mais doit subir une rénovation entre \text{A} et \text{B} qui coûte 2 millions d'euros par km pour être utilisable où \text{B} est un point de \text{[AC].} Le tronçon \text{[BD],} tout neuf, coûte 4 millions d'euros par km.
On note x la distance \text{AB.}
La partie \text{[AC]} existe déjà, mais doit subir une rénovation entre \text{A} et \text{B} qui coûte 2 millions d'euros par km pour être utilisable où \text{B} est un point de \text{[AC].} Le tronçon \text{[BD],} tout neuf, coûte 4 millions d'euros par km.
On note x la distance \text{AB.}
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Partie 1
Dans cette partie, on cherche à trouver l'expression du coût en fonction de x .
1. Montrer que la longueur \text{BD} en kilomètre est égale à \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 }.
2. Montrer que le coût du projet, exprimé en millions d'euros, est donné par la fonction \text{C}_\text{T} définie sur [0 \: ; 5] par \text{C} _ { \text{T} } ( x ) = 2 x + 4 \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 }.
3. Le chemin le plus court reliant \text{A} et \text{D} est le segment \text{[AD]} ; autrement dit, \text{B} et \text{A} sont confondus. Peut-on dire que le segment \text{[AD]} assure un coût minimal ? Si non, donner un chemin moins coûteux.
2. Montrer que le coût du projet, exprimé en millions d'euros, est donné par la fonction \text{C}_\text{T} définie sur [0 \: ; 5] par \text{C} _ { \text{T} } ( x ) = 2 x + 4 \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 }.
3. Le chemin le plus court reliant \text{A} et \text{D} est le segment \text{[AD]} ; autrement dit, \text{B} et \text{A} sont confondus. Peut-on dire que le segment \text{[AD]} assure un coût minimal ? Si non, donner un chemin moins coûteux.
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Partie 2
Dans cette partie, on utilise la calculatrice afin de déterminer la valeur de x qui minimise le coût.
On admet dans cette partie que le coût du projet, exprimé en millions d'euros, est donné par la fonction \text{C}_\text{T} définie sur [0\: ; 5] par :
\text{C} _ { \mathrm { T } } ( x ) = 2 x + 4 \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 }.
1. À l'aide de la calculatrice et en choisissant convenablement le repère, tracer la courbe représentative de la fonction \text{C}_\text{T} sur l'intervalle [0 \: ; 5].
2. Déterminer, avec les outils de la calculatrice, le minimum de la fonction \text{C}_\text{T}. Pour quelle valeur de x est-il atteint ?
3. Quel est alors le coût minimal ? Pour quelle longueur de \text{AB} est-il atteint ?
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2. Déterminer, avec les outils de la calculatrice, le minimum de la fonction \text{C}_\text{T}. Pour quelle valeur de x est-il atteint ?
3. Quel est alors le coût minimal ? Pour quelle longueur de \text{AB} est-il atteint ?
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Partie 3
1. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, vérifier que la dérivée de \text{C}_\text{T} est donnée par
\text{C} _ \text{T} ^ { \prime } ( x ) = 2 \times \dfrac { 2 x - 10 + \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } } { \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } }.
2. On pose u ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } et v ( x ) = 10 - 2 x. Expliquer pourquoi \mathrm { C } _ { \mathrm { T } } ^ { \prime } ( x ) a le même signe que u(x) - v(x) sur [0\: ; 5].
\text{C} _ \text{T} ^ { \prime } ( x ) = 2 \times \dfrac { 2 x - 10 + \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } } { \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } }.
GeoGebra
2. On pose u ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } et v ( x ) = 10 - 2 x. Expliquer pourquoi \mathrm { C } _ { \mathrm { T } } ^ { \prime } ( x ) a le même signe que u(x) - v(x) sur [0\: ; 5].
3. Expliquer pourquoi u ^ { 2 } ( x ) - v ^ { 2 } ( x ) a le même
signe que u(x) - v(x) sur [0 \: ; 5].
4. Vérifier que u ^ { 2 } ( x ) - v ^ { 2 } ( x ) = - 3 ( x + \sqrt { 3 } - 5 ) ( x - \sqrt { 3 } - 5 ).
5. Dresser le tableau de variations de la fonction \text{C}_\text{T}.
4. Vérifier que u ^ { 2 } ( x ) - v ^ { 2 } ( x ) = - 3 ( x + \sqrt { 3 } - 5 ) ( x - \sqrt { 3 } - 5 ).
5. Dresser le tableau de variations de la fonction \text{C}_\text{T}.
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Mise en commun
Déduire de ce qui précède la valeur de x pour
laquelle \text{C}_\text{T} est minimale. Conclure.Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
