Extremums d'une fonction

Soient \text{I} un intervalle ouvert et c un réel de \text{I.} On considère une fonction f définie sur \text{I.} Dire que f(c) est un maximum local (respectivement minimum local) de f au voisinage de c signifie qu'il existe deux réels a et b dans \text{I} tels que c \in ] a \:; b [ et, pour tout réel x de ] a\: ; b [, f ( x ) \leqslant f ( c ) (respectivement f ( x ) \geqslant f ( c )).
Un extremum local est un maximum ou un minimum local.

On dit que f(c) est un maximum global sur \text{I} lorsque pour tout x \in \mathrm {I}, f ( x ) \leqslant f ( c ). On définit de façon analogue un minimum global.

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \text{I} et c un réel de \text{I.}

1. Si f(c) est un extremum local de f, alors f ^ { \prime } ( c ) = 0.



2. Si f ^ { \prime } s'annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum local de f.

Si f ^ { \prime } s'annule en c sans changer de signe, alors f(c) n'est pas un extremum.

Idées générales de la démonstration :

• Si f(c) est un extremum local, alors il y a un changement de variation au niveau du point c, d'où le changement de signe de la dérivée.
• De plus, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse c semble parallèle à l'axe des abscisses, d'où f ^ { \prime } ( c ) = 0 (voir l'illustration ci-dessus).

1. f semble admettre un minimum local pour x = -1 .
f semble admettre un maximum local pour x = 2 .

2. a. f est dérivable sur [-2\: ; 4] en tant que fonction polynôme et, pour tout x \in [ - 2 \:; 4 ] , f ^ { \prime } ( x ) = - 1{,}5 x ^ { 2 } + 1{,}5 x + 3.
On développe - 1{,}5 ( x + 1 ) ( x - 2 ) \: : on obtient l'expression de f ^ { \prime } ( x ).
b. On a f ^ { \prime } ( x ) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 ou x = 2 .
En étudiant le signe de x + 1 et celui de x - 2 , on obtient le signe du produit.


f ^ { \prime } s'annule en changeant de signe pour x = -1 et pour x = 2 .
-2{,}75 est un minimum local de f atteint pour x = -1 .
4 est un maximum local de f atteint pour x = 2 .

exercices

17

et

20

p. 143 et

57

p. 148

Pour déterminer les extremums d'une fonction :

Graphiquement
1. on regarde où se trouvent les changements de variations ;
2. la valeur d'un extremum se lit sur l'axe des ordonnées.

Algébriquement
1. on vérifie que la fonction est dérivable et on calcule sa dérivée ;
2. on détermine les valeurs de x pour lesquelles la dérivée s'annule en changeant de signe ;
3. on en déduit les extremums en lisant les images des valeurs obtenues à l'étape précédente.