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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Entraînement 2
Division euclidienne
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76
Flash
Vrai/Faux
Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.
1. Si le quotient dans la division euclidienne d'un entier a par 6 est 4, alors le quotient dans la division euclidienne 3a par 6 est 12.
2. Si le quotient dans la division euclidienne d'un entier a par 7 est 5 et le quotient dans la division euclidienne d'un entier b par 7 est 3, alors le quotient dans la division euclidienne de a + b par 7 est 8.
3. Si le quotient dans la division euclidienne d'un entier a par 6 est 5 et le quotient dans la division euclidienne d'un entier b par 6 est 1, alors a + b est divisible par 6.
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77
Flash
On donne 3 \, 782 = 251 \times 15 + 17. 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 3 \, 782 par 251.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 3 \, 782 par 15.
3. Déterminer le reste de la division euclidienne de -3 \, 782 par 251.
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78
Flash
Soit a un entier naturel tel que le reste de la division euclidienne de a par 4 vaut 2.
Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de a par 16.
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79
[Calculer.] Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. 1. a = -51 et b = 6.
2. a = -40 et b = 3.
3. a = -40 et b = 11.
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80
[Calculer.] Sachant que le reste de la division euclidienne d'un entier a par 7 est 6, déterminer le reste de la division euclidienne de 2a par 7, de -3a par 7 et de 4a par 7.
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81
[Chercher.]
La différence de deux entiers naturels est 116.
Si l'on divise l'un par l'autre, le quotient est 4 et le reste est 8. Quels sont ces deux nombres ?
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82
[Chercher.]
La somme de deux entiers naturels est 708.
Si l'on divise l'un par l'autre, le quotient est 12 et le reste est 6. Quels sont ces deux nombres ?
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83
[Chercher.]
Soient p et q deux entiers naturels avec p non nul.
Que peuvent valoir le diviseur p et le quotient q d'une division dont le dividende est 500 et le reste 71 ?
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84
[Chercher.] Déterminer les entiers naturels n qui, dans la division euclidienne de n par 4, ont un quotient égal à deux fois le reste.
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85
[Chercher.]
Déterminer les entiers naturels n qui, dans la division euclidienne de n par 6, ont un reste égal à deux fois le quotient.
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86
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non nul.
On recherche le reste de la division euclidienne de (n + 2)^3 par n.
Jeanne fait le raisonnement suivant.
Pour tout entier naturel n, on a (n+2)^{3}=n\left(n^{2}+6 n+12\right)+8.
Donc le reste de la division euclidienne de (n+2)^{3} par n est 8
Jules choisit alors un exemple.
(6 + 2)^3 = 512 et 512 = 85 \times 6 + 2 donc le
reste n'est pas égal à 8.
Retrouver l'erreur commise par Jeanne.
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87
[Chercher.]
Déterminer un entier naturel n non nul tel que la division euclidienne de n par 58 donne un reste égal au cube du quotient.
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88
[Chercher.]
Soit a un entier naturel. Si on divise a par 5, le reste est 4.
Quelle peut être la valeur du reste de la division euclidienne de a par 25 ?
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89
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non nul. On considère l'entier défini par \mathrm{P}(n)=n^{3}+3 n^{2}+11 n+20.
1. Déterminer l'entier r tel que :
\mathrm{P}(n)=(n+2)\left(n^{2}+n+9\right)+r.
2. Justifier que r est le reste de la division euclidienne de \text P (n) par n + 2.
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90
[Calculer.]
1. Soit a = 135 un entier écrit en base 10.
Effectuer la division euclidienne de a par 2, puis les divisions euclidiennes successives des quotients par 2.
En déduire l'écriture de a en base 2 (voir ).
2. Soit \text{N}=\overline{11010110}^{2} un entier écrit en base 2.
Écrire ce nombre en base 10.
3. On souhaite écrire \text{N} en base 16 (base hexadécimale).
En base 16, il faut introduire d'autres symboles.
Les symboles correspondant aux « chiffres » en base 16 sont \{ \:0 \: ; 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \: ; 7 \: ; 8 \: ; 9 \: ; \text A \: ; \text B \: ; \text C \: ; \text D \: ; \text E \: ; \text F \:\}.
a. Écrire la division euclidienne de \text N par 16.
b. En déduire l'écriture de \text N dans la base hexadécimale.
4. Soit \mathrm{P}=\overline{2 \mathrm{A} 14 \mathrm{E}}^{16} écrit en base hexadécimale.
Donner l'écriture de \text{P} en base 10.
Effectuer la division euclidienne de a par 2, puis les divisions euclidiennes successives des quotients par 2.
En déduire l'écriture de a en base 2 (voir ).
2. Soit \text{N}=\overline{11010110}^{2} un entier écrit en base 2.
Écrire ce nombre en base 10.
3. On souhaite écrire \text{N} en base 16 (base hexadécimale).
En base 16, il faut introduire d'autres symboles.
Les symboles correspondant aux « chiffres » en base 16 sont \{ \:0 \: ; 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \: ; 7 \: ; 8 \: ; 9 \: ; \text A \: ; \text B \: ; \text C \: ; \text D \: ; \text E \: ; \text F \:\}.
a. Écrire la division euclidienne de \text N par 16.
b. En déduire l'écriture de \text N dans la base hexadécimale.
4. Soit \mathrm{P}=\overline{2 \mathrm{A} 14 \mathrm{E}}^{16} écrit en base hexadécimale.
Donner l'écriture de \text{P} en base 10.
5. On donne 7, \text{D} et 5, trois nombres écrits en base
hexadécimale.
a. Donner l'écriture de ces nombres en base 2.
b. Le nombre \overline{7 \text D 5}^{16} est écrit en base 16.
Donner son écriture en base 2.
6. a. En remarquant que 16 = 2^4, justifier la méthode utilisée ci‑dessous pour écrire en base 2 un nombre donné en base 16.
L'écriture de \overline{7 \text D 5}^{16} donné en base 16 est donc \overline{11111010101}^2 en base 2.
b. Écrire \overline{\text{A}2\text{C}}^{16} en base 2.
a. Donner l'écriture de ces nombres en base 2.
b. Le nombre \overline{7 \text D 5}^{16} est écrit en base 16.
Donner son écriture en base 2.
6. a. En remarquant que 16 = 2^4, justifier la méthode utilisée ci‑dessous pour écrire en base 2 un nombre donné en base 16.
| Base \bold{16} | 7 | \text{D} | 5 |
| Base \bold 2 | 0111 | 1101 | 0101 |
L'écriture de \overline{7 \text D 5}^{16} donné en base 16 est donc \overline{11111010101}^2 en base 2.
b. Écrire \overline{\text{A}2\text{C}}^{16} en base 2.
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91
[Calculer.]
Soit n un entier naturel non nul.
On considère l'entier \mathrm{P}_{n}=n^{3}-n.
1. Calculer \text P_1, \text P_2 et \text P_3 et donner le reste de la division par 6 de \text P_1, de \text P_2 et de \text P_3.
Quelle conjecture peut-on faire ?
Quelle conjecture peut-on faire ?
2. a. Factoriser \text P_n.
b. Démontrer par disjonction de cas la conjecture de la question 1.
b. Démontrer par disjonction de cas la conjecture de la question 1.
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