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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Divisibilité dans \Z
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Capacités attendues
1. Déterminer les diviseurs d'un entier.
2. Montrer qu'un entier a est divisible par un entier b.
3. Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne.
4. Déterminer des restes à l'aide de congruences.
5. Résoudre des équations avec des congruences.
6. Démontrer des critères de divisibilité.
7. Étudier des problèmes de codage et de chiffrement.
2. Montrer qu'un entier a est divisible par un entier b.
3. Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne.
4. Déterminer des restes à l'aide de congruences.
5. Résoudre des équations avec des congruences.
6. Démontrer des critères de divisibilité.
7. Étudier des problèmes de codage et de chiffrement.
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L'arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés des entiers. Euclide, Diophante, Fermat, Gauss et, plus récemment, Andrew Wiles ont contribué aux avancées dans ce domaine. L'arithmétique est aujourd'hui au centre des problèmes liés à l'informatique (codage, cryptographie). Les bases de l'arithmétique sont les opérations enseignées à l'école primaire. Dans ce chapitre, nous allons gravir une nouvelle marche en étudiant les notions de divisibilité dans \Z et de congruence.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Utiliser la parité d'un nombre.
2. Connaître les principaux critères de divisibilité.
3. Utiliser la notion de diviseur.
4. Savoir raisonner par récurrence.
5. Savoir écrire un algorithme et utiliser le langage Python.
2. Connaître les principaux critères de divisibilité.
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1Travailler avec la parité des nombres
1. Démontrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.
2. Démontrer que le produit de deux nombres
impairs est un nombre impair.
| + | Pair | Impair |
|---|---|---|
| Pair | ||
| Impair |
| \times | Pair | Impair |
|---|---|---|
| Pair | ||
| Impair |
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2Rédiger une démonstration
1. Montrer que 7 et 11 sont la différence de deux carrés.
2. Démontrer que tout entier naturel impair peut s'écrire comme la différence de deux carrés successifs.
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3Comprendre une fonction Python
Soit la fonction inconnue écrite en Python.
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Que permet de déterminer cette fonction ?
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4Déterminer des diviseurs
Justifier que 2\, 020 est divisible par 5 et par 10.
Est-il divisible par 3 ?
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5Diviseurs communs
Lors d'un tournoi de jeu de société, on compte 60 hommes et 40 femmes inscrits. Les organisateurs veulent créer des équipes mixtes contenant toutes le même nombre x d'hommes et y de femmes.
Comment les équipes peuvent-elles être constituées sachant qu'une équipe doit comprendre au moins quatre personnes et au plus dix personnes ?
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6Adapter une démarche de recherche
2 \, 020 peut-il s'exprimer comme la somme de quatre entiers consécutifs ?
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7Travailler avec la récurrence
Soit (\text U_n) la suite définie, pour tout n \in \N, par \text U_{n+1} = 2^{n+1} + \text U_n et de premier terme \text U_0=2.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, \text U_n est pair.
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8Problème
1. Soit n un entier naturel.
Démontrer que n et n^2 ont la même parité.
2. Supposons que \sqrt{2} est un nombre rationnel. Il existe alors deux entiers a et b, avec b non nul, tels que \sqrt{2} = \dfrac{a}{b}.
Quitte à la simplifier, on suppose que \dfrac{a}{b} est une fraction irréductible.
a. Démontrer que a^2 est pair, puis en déduire la parité de a.
Quitte à la simplifier, on suppose que \dfrac{a}{b} est une fraction irréductible.
a. Démontrer que a^2 est pair, puis en déduire la parité de a.
b. Démontrer alors que b est pair.
c. Déduire une contradiction des questions précédentes. Que peut-on en conclure ?
c. Déduire une contradiction des questions précédentes. Que peut-on en conclure ?
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Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est un célèbre mathématicien et physicien originaire de la principauté du Brunswick. D'une famille pauvre, son instituteur J.G. Büttner et son assistant Martin Bartels lui ont permis de développer ses talents mathématiques précoces. Il publie ses premiers résultats dès 19 ans et à 24 ans, il introduit les congruences étudiées dans ce chapitre dans ses Discussions arithmétiques, qui deviendra très vite une référence en arithmétique.
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah