Arithmétique

L'arithmétique désigne de façon générale la science des nombres.
Plus spécifiquement, depuis l'Antiquité, beaucoup de résultats de l'arithmétique sont liés à l'étude des nombres entiers : des caractéristiques de certains d'entre eux aux relations des uns avec les autres, comme les nombres premiers, pairs, impairs, amis, parfaits, etc. On peut citer aussi les triplets pythagoriciens, les nombres triangulaires, les nombres polygonaux de Diophante, les nombres de Mersenne, de Fermat, de Gauss, de Sophie Germain, ceux de Carmichael et bien d'autres encore.
Bien que souvent considérée comme très théorique, l'arithmétique a cependant permis de mieux comprendre l'infini et les différents ensembles de nombres. Elle trouve de nos jours de nombreuses applications notamment en informatique (systèmes de cryptographie ou codes correcteurs d'erreur).

La compréhension des problèmes arithmétiques est souvent très aisée, mais leur résolution peut générer des recherches et des raisonnements particulièrement délicats.
En lisant une édition de son époque des Arithmétiques de Diophante, Fermat (1607‑1665) rédige l'énoncé d'un résultat que l'on appellera le grand théorème de Fermat : « Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y et z tels que x^n + y^n = z^n ». Il ajoute dans la marge : « J'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir ». Nous n'avons aujourd'hui encore pas retrouvé la trace d'une telle démonstration. Beaucoup de mathématiciens à travers l'histoire se sont attachés à essayer de démontrer ce qui n'était alors qu'une conjecture. Ce n'est qu'en 1993 (puis en 1994) que le mathématicien Andrew Wiles présente ses travaux et précise que le grand théorème de Fermat est un corollaire de ses résultats. Il aura donc fallu plus de 300 ans pour parvenir à une démonstration du résultat et faire appel à de nombreuses branches des mathématiques qui n'existaient pas au XVII^e siècle. Une démonstration reposant sur les outils dont disposait Fermat est toujours à l'étude aujourd'hui.

Mathématicienne et philosophe, Sophie Germain (1776‑1831) s'est passionnée pour les mathématiques à l'âge de treize ans en lisant les œuvres d'Archimède. Afin de s'intégrer dans un milieu exclusivement masculin, elle choisit le pseudonyme d'Antoine Auguste Le Blanc pour correspondre avec Lagrange et Gauss et apporte des avancées notables sur la démonstration du théorème de Fermat et sur la théorie des nombres.
À la fin de sa vie, elle travaille sur les mathématiques des surfaces et, en 1816, elle devient la première femme à recevoir le prix de l'Académie des Sciences et à pouvoir assister à ses séances de travail.