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Le gnomon ci‑contre permet d'obtenir l'identité remarquable bien connue (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}. Compléter ce gnomon et expliquer en quoi il constitue une démonstration visuelle de cette identité remarquable.

Avec une méthode similaire, Diophante a montré que \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}+a b.

Avec nos connaissances actuelles concernant les équations du second degré, ce problème se résout facilement. Mais Diophante ne connaissait pas ce formalisme et procéda donc différemment. Afin de ne pas avoir deux valeurs à chercher à ce problème, il propose de les écrire à partir d'une inconnue qu'il nomme « nombre non dit » en grec ancien. Il la définit comme étant la moitié de leur différence.
En se servant de la deuxième identité donnée à la question , il indique ensuite que le carré de leur demi‑somme doit être égal à 100 (car \left(\frac{20}{2}\right)^{2}=100), donc que le carré de l'inconnue augmenté du produit des deux nombres cherchés vaut 100. Ainsi, 96 augmenté du carré de l'inconnue vaut 100. Le carré de l'inconnue vaut donc 4, donc cette inconnue vaut 2. Il en résulte que la plus grande des solutions vaut 10+2 soit 12 et que l'autre vaut 10-2 soit 8. Il précise enfin que sa méthode fonctionne, à condition que le carré de la demi‑somme à trouver soit plus grand que leur produit.

a) Soient a et b les deux nombres à trouver, \text{S} leur somme et \text{P} leur produit. Avec nos notations actuelles, montrer que a=\frac{\mathrm{S}}{2}+x et b=\frac{\mathrm{S}}{2}-x, où x correspond à l'inconnue (la moitié de la différence entre a et b).

b) Résoudre le problème en utilisant la deuxième identité de la question

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et donner alors les solutions proposées par Diophante en fonction de \text{S} et \text{P}.

c) En utilisant le principe de Diophante, sans les formules trouvées à la question

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b), déterminer deux nombres dont la somme vaut 40 et le produit 364.

On cherche ici deux nombres dont la somme de leur carré vaut 16. Soit l'inconnue l'une de ces valeurs.
Diophante propose d'écrire la deuxième valeur sous la forme m fois l'inconnue (où m est un nombre strictement positif, de préférence entier) moins 4 (car 4=\sqrt{16})). En prenant m=2, il obtient alors une équation du premier degré qu'il sait résoudre et dont la solution est \frac{16}{5}. De là, il trouve que l'autre valeur recherchée est donc \frac{12}{5}.

a) En appliquant la méthode de Diophante, retrouver que \frac{16}{5} et \frac{12}{5} sont bien solutions du problème, autrement dit que \left(\frac{16}{5}\right)^{2}+\left(\frac{12}{5}\right)^{2}=16.

b) On note a, b et c trois nombres qui vérifient a^{2}+b^{2}=c^{2}. On suppose que a est l'inconnue.
En utilisant nos notations actuelles et en suivant la méthode de Diophante, montrer que a=\frac{2 m c}{1+m^{2}}, puis déterminer b en fonction de m et c.

Marin Mersenne (1588‑1648) est un religieux à la culture encyclopédique qui s'intéresse particulièrement aux sciences. En 1644, il publie ses Cogitata Physico-Mathematica et, dans le paragraphe XIX de l'introduction, évoque les nombres parfaits et fait allusion à des nombres qui s'écrivent sous la forme 2^n-1. Ce paragraphe a inspiré de nombreux problèmes mathématiques abordés notamment par Euler, Legendre et Gauss.
En voici une traduction en français.

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a) Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs positifs stricts.
Vérifier que 6 et 28 sont bien des nombres parfaits.

b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1+2+2^{2}+\dots+2^{n-1}=2^{n}-1.

c) Pour aborder les nombres parfaits, on utilisera la propriété suivante.
« Pour tous entiers a et n supérieurs ou égaux à 2, a^n-1 est divisible par a-1. »
Démontrer ce théorème en déterminant la valeur de la somme 1+a+a^{2}+\dots+a^{n-1}.

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a) En utilisant la propriété précédente, montrer que si n n'est pas un nombre premier, alors 2^n-1 n'est pas un nombre premier.

b) Pour tout n \geqslant 2, on pose \mathrm{M}_{n}=2^{n}-1.
Étudier la primalité des nombres \mathrm{M}_2, \mathrm{M}_3, … , \mathrm{M}_{10}.

c) À ce stade, on pourrait conjecturer que si n est premier, alors \mathrm{M}_{n} est aussi premier.
Montrer que \mathrm{M}_{11} n'est pas premier, bien que 11 le soit.