Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Histoire des mathématiques : Arithmétique
Histoirep. 86-87
Activités - Histoire des mathématiques
Histoirep. 88-89
Divisibilité dans Z
Ouverturep. 90-91
Activités
Activitép. 92-93
1. Relation de divisibilité dans Z
Coursp. 94-95
2. Division euclidienne
Coursp. 96-97
3. Congruences
Coursp. 98-99
L'essentiel
Fiches de révision - Exclusivité numériquep. 100
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 101
TP1 : Numération : changement de base
TP / TICEp. 102
TP2 : La conjecture de Syracuse
TP / TICEp. 103
Travailler les automatismes
Exercicesp. 104-105
1. Relation de divisibilité dans Z
Exercicesp. 106
2. Division euclidienne
Exercicesp. 107-108
3. Congruences
Exercicesp. 109-111
Synthèse
Synthèsep. 112-115
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Exercices transversaux
Exercicesp. 238-243
Se préparer au Grand Oral
Grand oral
Présentation du Grand Oral
Grand oral
Conseils pour le Grand Oral
Méthode
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Exercices

Travailler les automatismes

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À l'oral
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18
Justifier qu'il n'existe pas d'entiers a et b tels que 14a + 20b = 2\,019.
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19

Compléter par les mots « multiple » ou « diviseur ». 1. 12 est un
de 24.

2. 50 est un
de 5.

3. 284 est un
de 852.

4. 3 est un
de 231.

5. 10 est un
de 100.

6. 0 est un
de 37.

7. -8 est un
de 0.

8. -4 est un
de 4.
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20

On a 337 = 27 \times 12 + 13.
1. Donner le reste de la division euclidienne de 337 par 27.
2. Donner le reste de la division euclidienne de 337 par 12.
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21

Sachant que 1\,013 = 125 \times 8 + 13, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de : 1. 1\, 013 par 125.
2. 1\, 013 par 8.
3. -1\, 013 par 125.
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22

Sachant que 1\, 027 = 253 \times 4 + 15, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de : 1. 1\, 027 par 253.
2. 1\, 027 par 4.
3. -1\, 027 par 4.
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23
Effectuer la division euclidienne de 351 par 10.
En déduire l'écriture de la division euclidienne de 351 par 11.
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24
Soit n=12 k+7, où k \in \mathbb{Z}.
1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de n par 12.
2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de n par 3.
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25
Sachant que 27 \equiv 2[5], donner une écriture des entiers supérieurs à 27 et inférieurs à 100 congrus à 2 modulo 5.
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Notion de diviseurs
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26

1. Déterminer les diviseurs positifs de 38.
2. Déterminer les diviseurs positifs de 30.
3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.
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27

Déterminer, dans \mathbb{Z}, les diviseurs communs de 12 et de 50.
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28

On appelle diviseur strict de l'entier naturel n tout diviseur d de n vérifiant 0 \lt d \lt n .
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l'autre. 1. Vérifier que 220 et 284 sont des entiers amicaux.
2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de 48 et de 75. Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ? Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.
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29

Déterminer dans chaque cas les entiers naturels x et y tels que : 1. x^{2}-y^{2}=12.
2. x^{2}-y^{2}=-15.
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Propriétés de la divisibilité
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30

1. Déterminer les entiers relatifs n tels que 6 divise n + 5.
2. Déterminer les entiers naturels n tels que 6 divise n + 5.
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31

1. Déterminer les entiers naturels n tels que 2n - 7 divise 5.
2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 4 divise 6.
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32

Déterminer tous les entiers naturels n tels que 2n + 5 divise n - 2.
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33

Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 4n + 1 divise n - 3.
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34

Soit n un entier naturel distinct de 1. On définit la fonction f par f(n)=\frac{n^{2}+3 n-2}{n-1}.
1. Déterminer les nombres a, b et c tels que, pour tout entier naturel n différent de 1, f(n)=a n+b+\frac{c}{n-1}.
2. En déduire les valeurs de n pour lesquelles f(n) est un entier.
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Pour les exercices
35
à
37

Déterminer tous les couples d'entiers naturels (x\ {;}\ y) vérifiant l'égalité donnée.
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35
(x-4)(y+3)=4
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36
x+y=x y
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37
x+y=2 x y
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Division euclidienne
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38

Démontrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, l'entier \mathrm{N}=n(n+2)(n-5)(n+5) est divisible par 4.
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39

Démontrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, l'entier \mathrm{N}=2n(n+1)(n+2) est divisible par 3.
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40

1. Vérifier que, pour tout n \in \mathbb{N} :
(n+2)^{2}=n(n+4)+4.

2. À quelle condition 4 est‑il le reste de la division euclidienne de (n + 2)^2 par n ?
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41

1. Vérifier que, pour tout n \in \mathbb{N} :
(n+3)^{2}=n(n+6)+9.

2. À quelle condition 9 est‑il le reste de la division euclidienne de (n + 3)^2 par n ?
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42

Le reste de la division euclidienne de a par 7 est 4 ; le reste de la division euclidienne de b par 7 est 6.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de a + b par 7.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de a - b par 7.
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43

1. Dans la division euclidienne de 2\, 512 par un entier naturel b, le quotient est 54.
Le reste peut‑il valoir 7 ?
2. Dans la division euclidienne de 31\, 631 par un entier naturel b, le quotient est 253.
Le reste peut‑il valoir 6 ?
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44

Dans la division euclidienne de 97 par un entier b le reste est 6. Donner les valeurs possibles de b et du quotient.
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45

Dans la division euclidienne de -10 par l'entier naturel non nul b, le reste vaut 2.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur b et du quotient q ?
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Congruences
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46

Soient a et b deux entiers.
1. On donne a \equiv 16 [5]. Quel est le reste de la division euclidienne de a par 5 ?
2. On donne b \equiv 17 [3]. Quel est le reste de la division euclidienne de b par 3 ?
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47

Soient deux entiers a et b tels que a \equiv 7[13] et b \equiv 4[13].
1. Donner le reste de la division euclidienne par 13 de :

a. a+b
b. ab
c. a^3
d. a^2-b^2
2. Que dire de 2b - 3a ?
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48

On donne deux entiers a et b tels que a \equiv 2[5] et b \equiv 3[5]. 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de a^2 + b par 5.
2. Démontrer que 3a + 3b est divisible par 5.
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49

On donne deux entiers a et b tels que a \equiv 1[7] et b \equiv 2[7].
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 5a^2 + 2b^2 par 7.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2b^2 + 5a^2 par 7.
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50

1. Reproduire et compléter le tableau de congruence modulo 3 suivant où n désigne un entier relatif.

\boldsymbol{n \equiv \ldots[3]}012
\boldsymbol{n^2 \equiv \ldots[3]}
\boldsymbol{2n \equiv \ldots[3]}
\boldsymbol{n^2 +2n \equiv \ldots[3]}

2. En déduire les valeurs de n pour lesquelles n^2 + 2n est divisible par 3.
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51

En utilisant un tableau de congruence, démontrer que, pour tout entier relatif n, n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 6.
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52

1. Démontrer que 5 admet un inverse modulo 11.
2. Montrer que 6 n'a pas d'inverse modulo 10.
3. 3 admet‑il un inverse modulo 12 ?
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53

1. Compléter le tableau de congruence modulo 8 suivant où x désigne un entier relatif.

\boldsymbol{x \equiv \ldots[8]}01234567
\boldsymbol{5x \equiv \ldots[8]}

2. En déduire les solutions de l'équation 5 x \equiv 7[8].
3. Déterminer un inverse modulo 8 de 5.
4. Montrer que 5x est divisible par 8 si, et seulement si, x est divisible par 8.
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