1. Soit n \in \mathbb{N}. On note \text{P}_n la proposition 0\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3. On souhaite démontrer que \text{P}_n est vraie pour tout n \in \mathbb{N}.
Pour n=0 (initialisation) :
u_0=1 et u_{1}=\frac{9}{6-u_{0}}=\frac{9}{5}=1{,}8 donc 0\lt u_{0}\lt u_{1}\lt 3.
On en déduit que \text{P}_0 est vraie.
On considère un entier naturel k quelconque tel que \text{P}_k est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit tel que 0\lt u_{k}\lt u_{k+1}\lt 3.
On souhaite démontrer que \text{P}_{k+1} est vraie, autrement dit que 0\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3 (hérédité).
Par hypothèse de récurrence, on a :
0\lt u_{k}\lt u_{k+1}\lt 3 \Leftrightarrow 0>-u_{k}>-u_{k+1}>-3

\Leftrightarrow 6>6-u_{k}>6-u_{k+1}>3

\Leftrightarrow \frac{1}{6}\lt \frac{1}{6-u_{k}}\lt \frac{1}{6-u_{k+1}}\lt\frac{1}{3} car x \mapsto \frac{1}{x} est strictement décroissante sur ] 0 ;+\infty[.

\Leftrightarrow \frac{9}{6}\lt\frac{9}{6-u_{k}}\lt\frac{9}{6-u_{k+1}}\lt\frac{9}{3}

\Leftrightarrow 1{,}5\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3
soit 0\lt u_{k+1}\lt u_{k+2}\lt 3.
Ainsi, \text{P}_0 est vraie et, lorsque \text{P}_k est vraie pour un entier k quelconque, alors \text{P}_{k+1} est vraie aussi.
Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n \in \mathbb{N}, \text{P}_n est vraie donc 0\lt u_{n}\lt u_{n+1}\lt 3.

2. D'après l'inégalité de la question 1. , la suite (u_n) est croissante et majorée par 3.
D'après le théorème de convergence monotone, (u_n) converge vers une limite \ell.

Exercices

24

p. 144 et

47

p. 147