18
À l'aide de la calculatrice, on a calculé les premiers termes d'une suite (u_n) et d'une suite (v_n) définies sur \mathbb{N}. Quelle semble être la limite de chacune de ces suites ?

Suites - Travailler les automatismes - exercice 18

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19
Conjecturer un majorant de la suite définie sur \mathbb{N} représentée ci‑dessous.

Suites - Travailler les automatismes - exercice 19

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20
Conjecturer un majorant de la suite définie sur \mathbb{N} représentée ci‑dessous.

Suites - Travailler les automatismes - exercice 20

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Utilisation de la définition d'une limite

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21
Soit (w_n) la suite définie, pour tout entier naturel n non nul, par w_{n}=2+\frac{1}{\sqrt{n}}.

1. a. Déterminer le plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a \left.w_{n} \in\right] 1{,}99 ; 2{,}01[.

b. Déterminer le plus petit entier n_1 tel que, pour tout n \geqslant n_{1}, on a \left|w_{n}-2\right| \leqslant 10^{-4}.

c. Soit \varepsilon un nombre réel strictement positif. Déterminer le plus petit entier n_2 tel que, pour tout n \geqslant n_{2}, on a \left.w_{n} \in\right] 2-\varepsilon ; 2+\varepsilon[.

2. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}.

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22
Soit (u_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=3 n-4.

1. a. Déterminer le plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \geqslant 100.

b. Déterminer le plus petit entier n_1 tel que, pour tout n \geqslant n_{1}, on a u_{n} \geqslant 1 000.

c. Soit \text{A} un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n_2 tel que, pour tout n \geqslant n_{2}, on a u_{n} \geqslant \mathrm{A}.

2. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.

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23
Soit (v_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=-5 n^{2}.

1. a. Déterminer le plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a v_{n} \leqslant -720.

b. Déterminer le plus petit entier n_1 tel que, pour tout n \geqslant n_{1}, on a v_{n} \leqslant -3 125.

c. Soit \text{A} un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n_2 tel que, pour tout n \geqslant n_2, on a v_{n} \leqslant \mathrm{A}.

2. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.

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Majorants, minorants

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24

1. Montrer que la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=\frac{2 n+3}{n+2} est majorée par 2.

2. Montrer que la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=\frac{n^{2}+(-1)^{n}}{n+1} est minorée par 0.

3. Montrer que la suite (w_n) définie, pour tout entier naturel n, par w_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} est minorée par 0 et majorée par 1.

4. Montrer par récurrence que la suite (t_n) définie par t_{0}=-\sqrt{2} et, pour tout entier naturel n, t_{n+1}=\frac{1}{4} t_{n}-2 est minorée par -3 et majorée par -1.

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Opérations sur les limites

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Pour les exercices
25
à
32

Dans chaque cas, donner, si elle existe, la limite de la suite dont on donne le terme général.

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25

1. r_{n}=\sqrt{n}+n^{2}

2. s_{n}=3+\frac{1}{n^{4}}

3. t_{n}=\left(\frac{4}{3}\right)^{n}+\frac{1}{n^{2}}

4. u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-n^{3}

5. v_{n}=-\left(n+\pi^{n}\right)

6. w_{n}=-4+\left(\frac{7}{10}\right)^{n}+n^{5}

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26

1. r_{n}=n^{2}-n

2. s_{n}=-n+\sqrt{n}

3. t_{n}=-\left(-\sqrt{n}+n^{7}\right)

4. u_{n}=-\left(n^{6}-n^{3}\right)

5. v_{n}=n^{5}-n^{3}+n

6. w_{n}=n^{6}-n^{4}+n^{2}-n

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27

1. r_{n}=\left(n^{5}+4\right)(n-3)

2. s_{n}=5 \times\left(\frac{185}{192}\right)^{n}

3. t_{n}=(8 n-2)\left(3+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)

4. u_{n}=-2 \times\left(\frac{144}{121}\right)^{n}

5. v_{n}=\left(6-n^{4}\right)\left(\frac{1}{n^{3}}+7\right)

6. w_{n}=\left(4-n^{7}\right)\left(n^{9}+1\right)

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28

1. t_{n}=\frac{1}{n^{2}}(2 n+4)

2. u_{n}=\frac{1}{n}(2 n+4)

3. v_{n}=\frac{1}{n^{4}}\left(n^{3}+2 n^{2}\right)

4. w_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}(-n-\sqrt{n})

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29

1. t_{n}=\frac{1}{n^{5}}\left(-8-n^{6}\right)

2. u_{n}=\frac{1}{n}\left(-n^{3}+3\right)

3. v_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2 n-3)

4. w_{n}=\frac{1}{n^{3}}\left(1-n^{3}\right)

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30

1. r_{n}=\frac{2}{n^{2}-4}

2. s_{n}=\frac{n^{3}}{4+\frac{1}{n}}

3. t_{n}=\frac{4-\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3}}-6}

4. u_{n}=\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^{n}}

5. v_{n}=\frac{-n}{\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}

6. w_{n}=\frac{\left(\frac{5}{7}\right)^{n}}{\frac{1}{n^{2}}-9}

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31

1. r_{n}=\frac{3 n^{2}+4}{2 n+2}

2. s_{n}=\frac{\left(\frac{7}{5}\right)^{n}}{\left(\frac{4}{3}\right)^{n}}

3. t_{n}=\frac{2 n-4}{7-3 n}

4. u_{n}=\frac{12 n^{2}}{5 n^{7}}

5. v_{n}=\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^{n}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}

6. w_{n}=\frac{n^{2}-1}{n+1}

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32

1. r_{n}=\frac{4-5 n}{2 n^{2}+1}

2. s_{n}=\frac{\left(\frac{6}{19}\right)^{n}}{\left(\frac{4}{11}\right)^{n}}

3. t_{n}=\frac{-6 n^{2}+3}{-n-2 n^{2}}

4. u_{n}=\frac{\left(\frac{18}{5}\right)^{n}}{\left(\frac{16}{11}\right)^{n}}

5. v_{n}=\frac{n^{2}+n+1}{n^{3}}

6. w_{n}=\frac{n^{2}-4}{n+2}

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Théorèmes de comparaison

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33

1. Soit (u_n) une suite telle que, pour tout entier naturel n, u_{n} \geqslant n^{2}+1. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.

2. Soit (v_n) une suite telle que, pour tout entier naturel n, v_{n} \leqslant-3 n-4. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.

3. Soit (w_n) une suite telle que, pour tout entier naturel n, -1+2 n \leqslant w_{n} \leqslant 1+2 n. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}.

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34

Justifier que, pour tout entier naturel n, \sqrt{n^{3}+1} \geqslant n \sqrt{n}. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \sqrt{n^{3}+1}.

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35

Soit (t_n) la suite définie par t_0=5 et, pour tout entier naturel n, t_{n+1}=t_{n}-5 n-4.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n \geqslant 2, t_{n} \leqslant-n^{2}.

2. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}.

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36

Soit (u_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=0{,}59^{n}\left(5+(-1)^{n}\right).

1. Pour tout entier naturel n, déterminer un encadrement de u_n.

2. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.

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37

Soit (v_n) la suite définie pour tout entier n \geqslant 1 par v_{n}=\frac{\sin (n)}{n^{3}}.

1. Pour tout n \geqslant 1, déterminer un encadrement de v_n.

2. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.

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Exercices inversés

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38

Déterminer cinq suites distinctes dont les limites sont égales à 4.

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39

On lit le raisonnement suivant :
« On a u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n} et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-5 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=-5. »
Compléter le raisonnement et écrire un énoncé possible correspondant à cette résolution d'exercice.

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Travailler les automatismes

Pour les exercices 25 à 32

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