Chapitre 4
Cours 4
Limites et comparaison
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AThéorème de comparaison
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Théorème
Soient (u_n) et (v_n) deux suites telles que u_{n} \leqslant v_{n} à partir d'un certain rang n_0.
1. Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty.
2. Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.
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Démonstration
1. Par hypothèse, il existe un rang n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, u_{n} \leqslant v_{n}.
Par ailleurs, u_n tend vers +\infty. Par définition, pour tout réel \text{A}, il existe un rang n_1 tel que, pour tout n \geqslant n_{1}, u_{n} \geqslant \mathrm{A}.
En choisissant \mathrm{N}=\max \left(n_{0} ; n_{1}\right), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout n \geqslant \mathrm{N}, u_{n} \leqslant v_{n} et u_{n} \geqslant \mathrm{A}.
Ainsi, pour tout réel \text{A}, il existe un entier \text{N} tel que, pour tout n \geqslant \mathrm{N}, v_{n} \geqslant \mathrm{A}.
Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty.
Par ailleurs, u_n tend vers +\infty. Par définition, pour tout réel \text{A}, il existe un rang n_1 tel que, pour tout n \geqslant n_{1}, u_{n} \geqslant \mathrm{A}.
En choisissant \mathrm{N}=\max \left(n_{0} ; n_{1}\right), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout n \geqslant \mathrm{N}, u_{n} \leqslant v_{n} et u_{n} \geqslant \mathrm{A}.
Ainsi, pour tout réel \text{A}, il existe un entier \text{N} tel que, pour tout n \geqslant \mathrm{N}, v_{n} \geqslant \mathrm{A}.
Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty.
2. Par hypothèse, il existe un rang n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, u_{n} \leqslant v_{n}.
Par ailleurs, v_n tend vers -\infty. Par définition, pour tout réel \text{A}, il existe un rang n_1 tel que, pour tout n \geqslant n_{1}, v_{n} \leqslant \mathrm{A}.
En choisissant \mathrm{N}=\max \left(n_{0} ; n_{1}\right), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout n \geqslant \mathrm{N}, u_{n} \leqslant v_{n} et v_{n} \leqslant \mathrm{A}.
Ainsi, pour tout réel \text{A}, il existe un entier \text{N} tel que, pour tout n \geqslant \mathrm{N}, v_{n} \leqslant \mathrm{A}.
Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.
Par ailleurs, v_n tend vers -\infty. Par définition, pour tout réel \text{A}, il existe un rang n_1 tel que, pour tout n \geqslant n_{1}, v_{n} \leqslant \mathrm{A}.
En choisissant \mathrm{N}=\max \left(n_{0} ; n_{1}\right), les deux propriétés sont vérifiées : on a pour tout n \geqslant \mathrm{N}, u_{n} \leqslant v_{n} et v_{n} \leqslant \mathrm{A}.
Ainsi, pour tout réel \text{A}, il existe un entier \text{N} tel que, pour tout n \geqslant \mathrm{N}, v_{n} \leqslant \mathrm{A}.
Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.
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Exemples
- On considère une suite (u_n) pour laquelle il existe n_{0} \in \mathbb{N} tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, u_{n} \geqslant n^{2}+1. Comme \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}+1\right)=+\infty, d'après le théorème de comparaison, on en déduit que \lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.
- On considère une suite (v_n) telle que, pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n} \leqslant-3 n. Comme \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}(-3 n)=-\infty, d'après le théorème de comparaison, on en déduit que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty.
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Application et méthode - 8
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Énoncé
Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-(-1)^{n}\right).
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- On détermine une suite qui majore (ou minore) celle dont on cherche la limite.
- On détermine ensuite la limite de la suite qui majore (ou minore) la suite dont on cherche la limite.
- On conclut à l'aide du théorème de comparaison.
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Solution
Pour tout entier naturel n, on a (-1)^{n} \leqslant 1 d'où -(-1)^{n} \geqslant-1 et donc n^{2}-(-1)^{n} \geqslant n^{2}-1.
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-1\right)=+\infty.
Donc, d'après le théorème de comparaison, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-(-1)^{n}\right)=+\infty.
Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-1\right)=+\infty.
Donc, d'après le théorème de comparaison, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(n^{2}-(-1)^{n}\right)=+\infty.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 145
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BThéorème des gendarmes
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Théorème des gendarmes (admis)
Soient (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites telles que u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n} à partir d'un certain rang.
Si (u_n) et (w_n) convergent vers une même limite \ell, alors (v_n) converge aussi vers \ell.
Si (u_n) et (w_n) convergent vers une même limite \ell, alors (v_n) converge aussi vers \ell.
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Le plus souvent, on utilisera des encadrements classiques comme les trois inégalités suivantes, valables pour tout entier naturel n :
-1 \leqslant(-1)^{n} \leqslant 1,
-1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1 et
-1 \leqslant \cos (n) \leqslant 1.
-1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1 et
-1 \leqslant \cos (n) \leqslant 1.
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Application et méthode - 9
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Énoncé
Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\frac{\sin (n)}{n}\right).
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- On encadre la suite dont on cherche la limite par deux autres suites de même limite.
- On détermine ensuite la limite de chacune des deux suites qui encadrent la suite dont on cherche la limite.
- On conclut à l'aide du théorème des gendarmes.
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Solution
Pour tout entier n \geqslant 1, on a -1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1 d'où -\frac{1}{n} \leqslant \frac{\sin (n)}{n} \leqslant \frac{1}{n} et donc 1-\frac{1}{n} \leqslant 1+\frac{\sin (n)}{n} \leqslant 1+\frac{1}{n}.
On pose u_{n}=1-\frac{1}{n}, v_{n}=1+\frac{\sin (n)}{n} et w_{n}=1+\frac{1}{n}.
On a donc u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n} pour tout entier n \geqslant 1 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=1.
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, \lim \limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\frac{\sin (n)}{n}\right)=1.
On pose u_{n}=1-\frac{1}{n}, v_{n}=1+\frac{\sin (n)}{n} et w_{n}=1+\frac{1}{n}.
On a donc u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n} pour tout entier n \geqslant 1 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=1.
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, \lim \limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(1+\frac{\sin (n)}{n}\right)=1.
Pour s'entraîner
Exercice et p. 145
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