Soient
(u_n) et
(v_n) deux suites définies par
u_0=2,
v_0=10 et, pour tout entier naturel
n :
u_{n+1}=\frac{2 u_{n}+v_{n}}{3} et v_{n+1}=\frac{u_{n}+3 v_{n}}{4}.
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n : v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{5}{12}\left(v_{n}-u_{n}\right).
b. Pour tout entier naturel n, on pose w_{n}=v_{n}-u_{n}.
Montrer que, pour tout entier naturel n, w_{n}=8\left(\frac{5}{12}\right)^{n}.
2. a. Montrer que la suite (u_n) est croissante et que la suite (v_n) est décroissante.