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En 1617, dans son Logarithmorum Chilias Prima, on a vu page 122 que Henry Briggs publie la première table des logarithmes décimaux. En 1748, Leonhard Euler publie son Introductio in analysin infinitorum et montre (chapitre VI) que logarithmes et exponentielles peuvent être regardés commme des fonctions auxquelles s'applique le calcul infinitésimal. Il explique avant cela la méthode utilisée par Briggs pour construire sa table de logarithmes.
Voici un extrait de la traduction d'Euler en français par J.B. Labey (1796).

La moyenne proportionnelle de deux grandeurs a et b telles que 1 \lt a \lt b est la grandeur c telle que \frac{a}{c}=\frac{c}{b}. Dans le cas de nombres comme ici, justifier alors que c=\sqrt{a b} et a \lt c \lt b.

On appelle \ell, la fonction logarithme d'Euler, correspondant au logarithme décimal de Briggs. Retrouver dans l'extrait ci-dessus une valeur approchée de \ell(10), \ell(1) et \ell(5{,}232991).

Toujours d'après Euler (chapitre VI), « le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme des logarithmes des facteurs ». Par lecture de la page donnée à la

page 122

, retrouver le logarithme de 18.

En reprenant que la moyenne proportionnelle c de a et b vérifie c^2 = ab, montrer que le logarithme de c est la moyenne arithmétique de ceux de a et b puis interpréter les colonnes 2 et 3 de l'extrait ci-dessus.

Compléter et exécuter le programme suivant écrit en Python pour qu'il retrouve la valeur approchée à 10^{-6} près du logarithme de 5 par la méthode de Briggs donnée par Euler.

from math import*
a = ...
b = ...
la = ...
lb = ...
while b - a > ... :
	if sqrt(a*b) < 5 
		a = ...
		la = ...
	else :
		b = ...
		lb = ...
print(la)

Modifier le programme pour l'écrire sous la forme d'une fonction \text{logarithme(x)} qui renvoie une valeur approchée du logarithme de x par la méthode de Briggs pour tout \text{x} compris entre 1 et 10.

Une quadrature est une méthode géométrique qui permet de déterminer le rapport d'une aire par une aire de référence. Dans l'Antiquité, Archimède a trouvé et démontré plusieurs quadratures, dont celle de la parabole. En voici rapidement les grands principes.

En inscrivant dans une parabole un triangle \text{BCS} d'aire \text{T} (en bleu) dont le sommet \text{S} est sur la tangente à la parabole parallèle à la base \text{(BC)}, il montre que l'aire \text{A} comprise entre la base \text{[BC]} du triangle et l'arc de parabole d'extrémités \text{B} et \text{C} est à l'aire du triangle comme 4 est à 3, c'est-à-dire qu'elle dépasse cette dernière du tiers. À l'étape suivante, on construit les triangles \text{BUS} et \text{SVC} sur le même principe.

L'aire des triangles qu'il ajoute est à chaque fois égale à \frac{1}{4} de l'aire des triangles précédents.
On a donc, en termes modernes, \mathrm{A}=\mathrm{T}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots+\frac{1}{4^{n}}\right) soit \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{T}}=\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots+\frac{1}{4^{n}}\right) à une étape n.
Il montre par un double raisonnement par l'absurde que \frac{\text{A}}{\text{T}}=\frac{4}{3}, là où nous calculerions une limite.
Ces principes de démonstration ont été repris et perfectionnés durant tout le Moyen-Âge, notamment dans le monde islamique, puis théorisé au XVII^e siècle sous le nom de « méthode d'exhaustion » par Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), qui l'appliquera notamment à l'hyperbole (voir ci-dessous).
C'est la recherche de la simplification de ces méthodes, alliée à l'apparition du calcul différentiel et à un formalisme algébrique qui lui soit adapté, qui a donné naissance au calcul intégral.

Partie B : À propos de Saint-Vincent

Soient a et b deux réels tels que 1 \lt a \lt b. On appelle \text{R}(a \: ; b) l'aire du rectangle dont un des côtés est défini à l'aide de a et b comme indiqué sur la figure. k désigne un réel strictement supérieur à 1.

1

Montrer que \text{R}(a \:; b) = \text{R}(ka \:; kb).

2

Soit c=\sqrt{a b}. Démontrer que a \lt c \lt b.

3

Montrer que \mathrm{R}(a \: ; c)=\mathrm{R}(c \: ; b) puis que \mathrm{R}(k a \: ; k c)=\mathrm{R}(k c \: ; k b) et enfin que \mathrm{R}(k a \: ; k c)=\mathrm{R}(a \: ; c). Notons \mathcal{A}(a \:; b) l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, l'hyperbole et les droites d'équation x = a et x = b. Comment Grégoire de Saint-Vincent aurait-il pu justifier que \mathcal{A}(k a \: ; k b)=\mathcal{A}(a \: ; b) ?

4

Posons \ell(x)=\mathcal{A}(1 \:; x) pour x > 1. Montrer que \ell(a b)=\ell(a)+\ell(b) (la fonction \ell possède donc la propriété fonctionnelle des fonctions logarithmes).