[Calculer.]
Soit (u_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=(3 n-4)^{2}.

1. Soit \text{A} un nombre réel. Déterminer le plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \geqslant \mathrm{A}.

2. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.

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[Calculer.]
Soit (v_n) la suite définie, pour tout entier n \geqslant 1, par v_{n}=\frac{3 n^{2}+1}{2 n}.

1. Soit \mathrm{A} un nombre réel. Montrer que : v_{n} \geqslant \mathrm{A} \Leftrightarrow 3 n^{2}-2 \times \mathrm{A} \times n+1 \geqslant 0.

2. Discuter suivant les valeurs de \text{A} le signe de l'expression 4 \mathrm{A}^{2}-12.

3. En déduire la valeur du plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a v_{n} \geqslant \mathrm{A}.

4. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}.

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Démo

[Raisonner.]
Nous allons démontrer que, pour tout q>1, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=+\infty. Pour cela, on pose q=1+a avec a>0.

1. Démontrer par récurrence que (1+a)^{n} \geqslant 1+a n. Cette inégalité s'appelle l'inégalité de Bernoulli.

2. Soit \text{A} un réel. Déterminer la valeur du plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, 1+a n \geqslant \mathrm{A}.

3. En utilisant l'inégalité de Bernoulli, démontrer que : \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} q^{n}=+\infty.

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Démo

[Raisonner.]
Nous allons montrer que si (u_n) est une suite telle que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left(-u_{n}\right)=-\infty.

1. Soit (u_n) une suite telle que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty. Rappeler la définition d'une telle limite.

2. Soit \mathrm{A} un nombre réel fixé.
a. Montrer qu'il existe un entier naturel n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, -u_{n} \leqslant-\mathrm{A}.

b. Conclure.

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59

Soit (u_n) la suite définie pour tout entier naturel n par u_{n}=-\sqrt{5 n+7}.

1. Soit un nombre réel \mathrm{A} \lt 0.
Déterminer le plus petit entier n_0 tel que, pour tout n \geqslant n_{0}, on a u_{n} \leqslant \mathrm{A}.

2. En déduire \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}.

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Python

[Modéliser.]
On considère la suite (v_n) définie par v_0=3 et, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=-v_{n}^{2}+v_{n}-2. On donne la fonction ci‑dessous.

def fonction(p):
	N = 0
	V = 3
	while V > -10**p:
		N = N + 1
		V = -V**2 + V - 2
	return(N)

1. a. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(10) ?

b. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(50) ?

2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l'appel fonction(p) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (v_n) ?

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Vrai/faux

[Communiquer.]
Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Si une suite (u_n) n'est pas majorée, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.

2. Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty alors, (v_n) n'est pas majorée.

3. Si une suite (w_n) est strictement croissante, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=+\infty.

4. Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} t_{n}=+\infty alors, (t_n) est croissante.

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Python

[Modéliser.]
On considère la suite (z_n) définie par z_0=0{,}0001 et, pour tout entier naturel n, z_{n+1}=\exp (\sqrt{\mathrm{z}_{n}}).
On donne la fonction ci‑dessous.

from math import*

def fonction(p):
	N = 0
	Z = 0.0001
	while Z < 10**p:
		N = N + 1
		Z = exp(sqrt(Z))
	return(N)

1. Quelle est la valeur renvoyée lors de l'appel fonction(2) ? Et lors de l'appel fonction(5) ?

2. De manière générale, quelle valeur est renvoyée lors de l'appel fonction(p) ?

3. Quelle conjecture peut‑on émettre quant à la limite de la suite (z_n) ?

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