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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 4
Méthode BAC
Préparer le BAC
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Comment répondre aux questions du bac ?
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1Démontrer qu'une proposition est valable pour tout n.
La plupart du temps, il suffira de réaliser une démonstration
par récurrence (voir )
Voir exercice question 1. d.
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2Démontrer qu'une suite (u_n) est géométrique.
Il faut faire apparaître la définition d'une suite géométrique : il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n} \times q ou encore u_{n}=u_{0} \times q^{n} où u_0 est le premier terme de la suite.
Voir exercice question 3. a.
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3Calculer une limite.
On calcule toujours la limite d'une suite lorsque n tend vers +\infty. On utilise les limites usuelles et les opérations sur les limites ou le théorème des gendarmes.
Voir exercice question 3. c.
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4Démontrer qu'une suite est convergente.
On peut parfois calculer directement la limite (voir 3) ou utiliser le théorème de convergence monotone.
Voir exercice question 4. a.
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Exercice guidé
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104
[D'après bac S, Asie, juin 2019]La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée \text{M}.
Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant un modèle utilisant une suite.
Dans cette partie, pour tout entier naturel n, on note \mathrm{T}_n la température du café à l'instant n, avec \mathrm{T}_n exprimée en degré Celsius et n en minute. On a ainsi \mathrm{T}_0=80.
Aide
Information n°1 importante de l'énoncé à retenir et à noter sur sa feuille de brouillon.
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n+1 par l'égalité \mathrm{T}_{n+1}-\mathrm{T}_{n}=k\left(\mathrm{T}_{n}-\mathrm{M}\right) où k est une constante réelle.
Dans la suite de l'exercice, on choisit \text{M}=10 et k=-0,2. Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : \mathrm{T}_{n+1}-\mathrm{T}_{n}=-0,2\left(\mathrm{T}_{n}-10\right).
Aide
Information n°2 importante de l'énoncé à retenir et à noter sur sa feuille de brouillon.
1. D'après le contexte, peut‑on conjecturer le sens de variations de la suite (\mathrm{T}_n) ?
2. Montrer que, pour tout entier naturel n : \mathrm{T}_{n+1}=0,8 \mathrm{T}_{n}+2.
3. On pose, pour tout entier naturel n, u_{n}=\mathrm{T}_{n}-10.
a. Montrer que (u_n) est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme u_0.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : \mathrm{T}_{n}=70 \times 0,8^{n}+10.
Aide
Que représente \mathrm{T}_n dans ce problème ?
2. Montrer que, pour tout entier naturel n : \mathrm{T}_{n+1}=0,8 \mathrm{T}_{n}+2.
Aide
Il suffit d'isoler \mathrm{T}_{n+1} à partir de l'information n°2.
3. On pose, pour tout entier naturel n, u_{n}=\mathrm{T}_{n}-10.
a. Montrer que (u_n) est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme u_0.
Aide
Il faut exprimer u_{n+1} en fonction de u_n pour déterminer une expression d'une suite géométrique.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : \mathrm{T}_{n}=70 \times 0,8^{n}+10.
Aide
La question précédente est certainement utile.
c. Déterminer la limite de la suite (\mathrm{T}_{n}).
4. On considère l'algorithme suivant.
a. On affecte 80 à la variable \text{T} et 0 à la variable n.
Quelle valeur numérique contient la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Aide
Comment déterminer la limite de q_n ?
4. On considère l'algorithme suivant.
\boxed{
\begin{array} { l }
\text {Tant que } \mathrm{T} > 40 : \\
\quad \quad \mathrm{T} \leftarrow 0,8 \mathrm{T}+2 \\
\quad \quad n \leftarrow n+1 \\
\text {Fin tant que}
\end{array}
}
a. On affecte 80 à la variable \text{T} et 0 à la variable n.
Quelle valeur numérique contient la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
Aide
Il faut exécuter l'algorithme à la main en vérifiant à chaque fois la condition d'arrêt de la boucle.
b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Aide
Il faut savoir ce que représentent n et \text{T}.
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Exercices
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105
[D'après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2014]
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0 ;+\infty[ par f(x)=x \mathrm{e}^{-x}.Déterminer le tableau de variations de f sur [0 ;+\infty[.
Partie B
On donne ci‑dessous la courbe \mathcal{C}_{f} représentative de la fonction f dans un repère du plan. La droite \Delta d'équation y = x a aussi été tracée.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Soit la suite (u_n) définie par u_0=1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
1. Reproduire le graphique et, en utilisant la courbe \mathcal{C}_{f} et la droite \Delta, placer les points \mathrm{A}_0, \mathrm{A}_1 et \mathrm{A}_2 d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives u_0, u_1 et u_2. Laisser les tracés explicatifs apparents.
GeoGebra
2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, u_{n}>0.
3. Montrer que la suite (u_n) est décroissante.
4. a. Montrer que la suite (u_n) est convergente.
b. On admet que la limite de la suite (u_n) est solution de l'équation x \mathrm{e}^{-x}=x.
Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
Partie C
On considère la suite \left(\mathrm{S}_{n}\right) définie pour tout entier naturel n par \mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}.Compléter l'algorithme ci-dessous pour calculer \mathrm{S}_{100}.
\boxed{
\begin{array} { l }
{u} \leftarrow \ldots \\
{\mathrm{S}} \leftarrow \ldots \\
\text {Pour } k \text { variant de 1 à } \ldots : \\
\quad {u} \leftarrow {u \times \mathrm{e}^{-u}} \\
\quad {\mathrm{S}} \leftarrow \ldots \\
\text {Fin Pour } \\
\end{array}
}
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106
[D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2014]
On considère la suite numérique (u_n) définie sur \mathbb{N} par : u_0=2 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=-\frac{1}{2} u_{n}^{2}+3 u_{n}-\frac{3}{2}.
Partie A : Conjecture
1. Calculer les valeurs exactes de u_1 et u_2.2. Donner une valeur approchée à 10^{-5} près de u_3 et u_4.
3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (u_n).
Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par v_n=u_n-3.1. Montrer que, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=-\frac{1}{2} v_{n}^{2}.
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, v_{n+1}-v_{n}=-v_{n}\left(\frac{1}{2} v_{n}+1\right).
b. En déduire le sens de variation de la suite (v_n).
4. Pourquoi peut‑on affirmer que la suite (v_n) converge ?
5. On note \ell la limite de la suite (v_n) et on admet que \ell appartient à l'intervalle [-1 ; 0] et vérifie l'égalité \ell=-\frac{1}{2} \ell^{2}. Déterminer la valeur de \ell.
6. Les conjectures de la partie A sont‑elles validées ?
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107
[D'après bac S, Métropole-La Réunion, septembre 2013]
On considère la suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par u_0=2 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\frac{u_{n}+2}{2 u_{n}+1}.
On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n}>0. 1. a. Calculer u_1, u_2, u_3 et u_4. On pourra en donner une valeur approchée à 10^{-2} près.
b. Vérifier que si n est l'un des entiers 0, 1, 2, 3, 4, alors u_n-1 a le même signe que (-1)^n.
c. Établir que, pour tout entier naturel n : u_{n+1}-1=\frac{-u_{n}+1}{2 u_{n}+1}.
d. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, u_n-1 a le même signe que (-1)^n.
2. Pour tout entier naturel n, on pose v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+1}.
a. Établir que, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=\frac{-u_{n}+1}{3 u_{n}+3}.
b. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison -\frac{1}{3}.
En déduire l'expression de v_n en fonction de n.
c. On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}}.
Exprimer u_n en fonction de n et déterminer la limite de la suite (u_n).
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