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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 13
Cours 1
Sommes de variables aléatoires
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Dans tout ce chapitre, on considérera une expérience aléatoire dont on notera \Omega l'univers
des possibles. On supposera cet univers fini. On notera \text{P} une probabilité sur \Omega.
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Rappel
Une variable aléatoire réelle \text{X} définie sur l'univers \Omega est une fonction définie sur \Omega à valeurs dans \mathbb{R}.
On a donc \text{X} :
On a donc \text{X} :
-
\Omega \rightarrow \R
\omega \rightarrow \text{X}(\omega).
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Il peut y avoir plusieurs \omega
qui donnent la même
valeur de \mathrm{X}(\omega).
Autrement dit, \mathrm{X}(\omega)
peut avoir plusieurs
antécédents.
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Exemple
On lance une pièce de monnaie. Si on obtient pile, on gagne 5 € et si on obtient face,
on gagne 2 €.
On peut alors définir une variable aléatoire \text{X} correspondant au gain obtenu en euro.
\text{X} est définie sur l'univers \Omega=\{\text { pile } ; \text { face }\}.
On a alors \text{X}(\text { pile })=5 et \text{X}(\text { face })=2.
\text{X} peut donc prendre deux valeurs : 5 et 2.
On peut alors définir une variable aléatoire \text{X} correspondant au gain obtenu en euro.
\text{X} est définie sur l'univers \Omega=\{\text { pile } ; \text { face }\}.
On a alors \text{X}(\text { pile })=5 et \text{X}(\text { face })=2.
\text{X} peut donc prendre deux valeurs : 5 et 2.
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Définition
Soit \text{X} une variable aléatoire définie sur l'univers \Omega et a un nombre réel.
On peut définir une variable aléatoire \text{Y} telle que, pour tout élément \omega \in \Omega, \mathrm{Y}(\omega)=a \text{X}(\omega). On note \text{Y=}a \text{X}.
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Dans
le cas où a = 0,
la variable aléatoire
\text{Y = 0X} est la
variable aléatoire
toujours égale à 0.
Son espérance et sa
variance sont alors
nulles.
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Exemple
On lance un dé équilibré à six faces et on joue au jeu suivant : le nombre de points
obtenus est le résultat du dé multiplié par 5.
En notant respectivement \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors \text{Y}=5 \text{X}.
En notant respectivement \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors \text{Y}=5 \text{X}.
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Définition
Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires définies sur l'univers \Omega.
On peut définir une variable aléatoire \text{Z} sur \Omega telle que, pour tout élément \omega \in \Omega, Z(\omega)=\text{X}(\omega)+\text{Y}(\omega).
Cette variable aléatoire est appelée somme des variables aléatoires \textbf{X} et \textbf{Y}.
On note \text{Z = X + Y}.
Cette variable aléatoire est appelée somme des variables aléatoires \textbf{X} et \textbf{Y}.
On note \text{Z = X + Y}.
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On
définit de la même
manière la somme de
3, 4, ou n variables
aléatoires.
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Exemples
1. On lance cinq dés équilibrés et on compte la somme des nombres obtenus.
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire \text{X} sous la forme \text{X}=\text{X}_{1}+\ldots+\text{X}_{5} où, pour tout k \in\{1\:; 2\:; 3\:; 4\:; 5\}, \text{X}_{k} correspond au résultat du dé numéro k.
Attention : \text{X} \neq 5 \times \text{X}_{1}. L'ensemble des valeurs prises par \text{X} est \{5\:; 6\:; 7\:; 8\:; 9\:; \ldots ; 30\} (somme possible des 5 dés) alors que 5 \times \mathrm{X}_{1} ne peut prendre que les valeurs 5, 10, 15, 20, 25, 30.
2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note \text{X} la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire \text{X} sous la forme \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\ldots+\mathrm{X}_{20} où, pour tout k \in\{1\:; \ldots ; 20\}, \mathrm{X}_{k}=1 si on a obtenu pile au k^{\mathrm{e}} lancer et \mathrm{X}_{k}=0 si on a obtenu face au k^{\mathrm{e}} lancer.
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire \text{X} sous la forme \text{X}=\text{X}_{1}+\ldots+\text{X}_{5} où, pour tout k \in\{1\:; 2\:; 3\:; 4\:; 5\}, \text{X}_{k} correspond au résultat du dé numéro k.
Attention : \text{X} \neq 5 \times \text{X}_{1}. L'ensemble des valeurs prises par \text{X} est \{5\:; 6\:; 7\:; 8\:; 9\:; \ldots ; 30\} (somme possible des 5 dés) alors que 5 \times \mathrm{X}_{1} ne peut prendre que les valeurs 5, 10, 15, 20, 25, 30.
2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note \text{X} la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire \text{X} sous la forme \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\ldots+\mathrm{X}_{20} où, pour tout k \in\{1\:; \ldots ; 20\}, \mathrm{X}_{k}=1 si on a obtenu pile au k^{\mathrm{e}} lancer et \mathrm{X}_{k}=0 si on a obtenu face au k^{\mathrm{e}} lancer.
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On pourrait
de même définir
la variable aléatoire
\mathrm{X}-\mathrm{Y}.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
Une boîte contient des jetons rouges et des jetons jaunes indiscernables au toucher. Les jetons rouges correspondent à un gain de 3 € et les jetons jaunes à un gain de 2 €. On tire avec remise deux jetons de la boîte.
On note \text{R} l'événement « On a obtenu une boule rouge » et \text{J} l'événement « On a obtenu une boule jaune ».
On travaille avec \Omega=\{\mathrm{R}\:; \mathrm{J}\}^{2}.
On note \text{X}_{1} et \text{X}_{2} les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1er et au 2e tirage.
1. Calculer les valeurs de \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R})) et \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J})).
2. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l'issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de \text{X}_{1} et \text{X}_{2}.
On travaille avec \Omega=\{\mathrm{R}\:; \mathrm{J}\}^{2}.
On note \text{X}_{1} et \text{X}_{2} les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1er et au 2e tirage.
1. Calculer les valeurs de \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R})) et \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J})).
2. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l'issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de \text{X}_{1} et \text{X}_{2}.
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On détermine le lien entre chacune des variables aléatoires
introduites par l'énoncé en utilisant les opérations élémentaires.
Dans ce chapitre, il s'agira de :
Dans ce chapitre, il s'agira de :
- sommes de variables aléatoires ;
- différences de variables aléatoires ;
- produits de variables aléatoires par un réel.
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Solution
1. \text{X}_{1} correspond au gain du 1er tirage et \text{X}_{2} à celui du 2e tirage.
Ainsi, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R}))=3, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=3, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=2, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R}))=2 \text { et } \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J}))=2.
2. Le gain total est la somme des gains obtenus à chaque étape donc \text{X}=\text{X}_{1}+\text{X}_{2}.
Ainsi, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R}))=3, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=3, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=2, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R}))=2 \text { et } \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J}))=2.
2. Le gain total est la somme des gains obtenus à chaque étape donc \text{X}=\text{X}_{1}+\text{X}_{2}.
Pour s'entraîner
Exercices
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah