Partie C : On étend le jeu

Le jeu présenté dans la partie A étant trop défavorable au joueur, on demande à celui‑ci, à l'issue du premier jet de dé, de jouer une seconde manche dont la règle est la suivante.
Le joueur relance le dé équilibré : s'il obtient un nombre impair, il gagne 3 € ; sinon, il perd 2 €.
On note \text{Y} la variable aléatoire correspondant au gain du second jeu, et \text{Z} la variable aléatoire correspondant au gain total alors obtenu.

1

Déterminer la loi de probabilité de \text{Y} puis justifier que l'on peut écrire \mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}.

2

Pour tout i \in\{6 ;-12 ; 15\}, on note \text{A}_{i} l'événement « On remporte i euros au cours de la première phase du jeu ». Pour tout j \in\{-2 ;3\}, on note \text{B}_{j} l'événement « On remporte j euros au cours de la seconde phase du jeu ». Réaliser un arbre pondéré illustrant la situation étudiée. On admettra que, pour tout i \in\{6 ;-12 ; 15\} et pour tout j \in\{-2 ;3\}, les événements \text{A}_{i} et \text{B}_{j} sont indépendants.

Compléter le tableau suivant résumant la loi de probabilité de \text{Z}.

4

Calculer \text{E(Y)} et \text{E(Z)}. Comparer alors \text{E(Z)} avec \mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}) et déterminer si le jeu est réellement moins désavantageux pour le joueur que lors de la partie A.

Si \text{X} et \text{Y} sont deux variables aléatoires et \boldsymbol{a} un nombre réel, exprimer \mathbf{E}( \boldsymbol{a}\mathbf{X}) et \mathbf{E}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) en fonction de \mathbf{E}(\mathbf{X}) et de \mathbf{E}(\mathbf{Y}).

On considère une urne opaque dans laquelle se trouvent cinq boules indiscernables au toucher : trois boules noires et deux boules blanches.
Dans la suite, on notera \text{N} l'événement « On a tiré une boule noire » et \text{B} l'événement « On a tiré une boule blanche ».
On utilisera la règle suivante : tirer une boule noire rapporte 2 € alors que tirer une boule blanche fait perdre 1 €.

Partie A : Étude de \mathbf{T}

On tire au hasard une boule de l'urne et on note \text{T} la variable aléatoire correspondant au gain (algébrique) obtenu.

1

Déterminer la loi de probabilité de \text{T} puis son espérance mathématique.

2

En déduire la variance de la variable aléatoire \text{T}.

Partie B : On double les gains (et les pertes)

On modifie légèrement le jeu décrit plus haut : les gains et les pertes sont multipliés par 2.
On note \text{U} la variable aléatoire donnant le gain algébrique alors obtenu.

1

Déterminer la loi de probabilité de \text{U}. Justifier que \mathrm{U}=2 \mathrm{T} et en déduire \text{E(U)}.

2

Calculer la variance de \text{U}. Quelle relation obtient-on entre \text{V(U)} et \text{V(T)} ?

3

Reprendre les questions précédentes et comparer \text{V(T)} et \text{V(U)} lorsque les gains sont triplés.

Soient \text{X} une variable aléatoire et \boldsymbol{a} un nombre réel. Exprimer \mathbf{V}(\boldsymbol{a} \mathbf{X}) en fonction de \mathbf{V}(\mathbf{X}) et de \boldsymbol{a}.

Soient \mathbf{X} et \mathbf{Y} deux variables aléatoires indépendantes.
Exprimer \mathbf{V}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) en fonction de \mathbf{V}(\mathbf{X}) et de \mathbf{V}(\mathbf{Y}).