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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 13
Cours 2
Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires
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Dans cette partie, on considère une variable aléatoire \text{X} définie sur \Omega=\left\{\omega_{1}\:; \omega_{2}\:; \ldots\:; \omega_{r}\right\}
et on note \left\{x_{1}\:; x_{2}\:; \ldots ; x_{s}\right\} l'ensemble des valeurs prises par \text{X} où r et s sont des entiers
naturels non nuls.
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AEspérance d'une somme de variables aléatoires
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Lemme (admis)
En reprenant les notations précédentes, on a \mathrm{E}(\mathrm{X})=\displaystyle\sum_{j=1}^{r} \mathrm{X}\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right).
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On a \text{E(X)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{s} x_{i} \times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
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Dans le
lemme, l'espérance
s'écrit en fonction
des issues \omega_{j} de
l'expérience aléatoire
et non en fonction
des valeurs x_{i}.
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Exemple
Dans le cadre d'un lancer de dé cubique équilibré, on gagne 2 € si on obtient un
nombre pair et on perd 6 € si on obtient un nombre impair.
L'espérance de la variable aléatoire \text{X} correspondant au gain remporté s'élève à \mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{X}(1) \times \mathrm{P}(\{1\})+\ldots+\mathrm{X}(6) \times \mathrm{P}(\{6\})=(-6) \times \frac{1}{6}+\ldots+2 \times \frac{1}{6}=-2 €.
L'espérance de la variable aléatoire \text{X} correspondant au gain remporté s'élève à \mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{X}(1) \times \mathrm{P}(\{1\})+\ldots+\mathrm{X}(6) \times \mathrm{P}(\{6\})=(-6) \times \frac{1}{6}+\ldots+2 \times \frac{1}{6}=-2 €.
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Propriété
Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires définies sur le même univers \Omega. Alors : \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}).
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Cette
propriété permet
de déterminer
l'espérance de
\text{X + Y} simplement
à l'aide de celles de
\text{X} et \text{Y} (donc sans la
connaissance de la
loi de probabilité de
\text{X + Y}).
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Démonstration
Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires définies sur \Omega. Soit \text{Z} la variable aléatoire
définie sur \Omega par \text{Z = X + Y}.
On a alors \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{Z})=\displaystyle\sum_{j=1}^{r} \mathrm{Z}\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right) (lemme précédent appliqué à \text{Z}) et donc \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\displaystyle\sum_{j=1}^{r}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right) en utilisant \text{Z = X + Y}.
On a par ailleurs X+Y\left(\omega_{j}\right)=X\left(\omega_{j}\right)+Y\left(\omega_{j}\right) (somme de fonctions).
Donc \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\displaystyle\sum_{j=1}^{r} \mathrm{X}\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right)+\displaystyle\sum_{j=1}^{r} \mathrm{Y}\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right).
D'où \text{E(X + Y) = E(X) + E(Y)} en identifiant les deux sommes précédentes à \text{E(X)} et \text{E(Y)}.
On a alors \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{Z})=\displaystyle\sum_{j=1}^{r} \mathrm{Z}\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right) (lemme précédent appliqué à \text{Z}) et donc \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\displaystyle\sum_{j=1}^{r}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right) en utilisant \text{Z = X + Y}.
On a par ailleurs X+Y\left(\omega_{j}\right)=X\left(\omega_{j}\right)+Y\left(\omega_{j}\right) (somme de fonctions).
Donc \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\displaystyle\sum_{j=1}^{r} \mathrm{X}\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right)+\displaystyle\sum_{j=1}^{r} \mathrm{Y}\left(\omega_{j}\right) \mathrm{P}\left(\left\{\omega_{j}\right\}\right).
D'où \text{E(X + Y) = E(X) + E(Y)} en identifiant les deux sommes précédentes à \text{E(X)} et \text{E(Y)}.
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On a également
\mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{X})-\mathrm{E}(\mathrm{Y}).
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Propriété
Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires définies sur un même univers \Omega et a un nombre réel.
Alors \mathrm{E}(a \mathrm{X})=a \mathrm{E}(\mathrm{X}) \text { et } \mathrm{E}(a \mathrm{X}+\mathrm{Y})=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}).
Alors \mathrm{E}(a \mathrm{X})=a \mathrm{E}(\mathrm{X}) \text { et } \mathrm{E}(a \mathrm{X}+\mathrm{Y})=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}).
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Cette
propriété est
appelée linéarité de
l'espérance.
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Démonstration
Si a = 0, la propriété est évidente car \mathrm{E}(0 \mathrm{X})=0 \text { et } 0 \mathrm{E}(\mathrm{X})=0.
On suppose que a \neq 0.
On suppose que a \neq 0.
- En notant x_{1} ; \ldots ; x_{s}, les valeurs prises par \text{X}, alors a\text{X} prend les valeurs a x_{1} ; \ldots ; a x_{s}.
Par définition, \mathrm{E}(a \mathrm{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{s} a x_{i} \mathrm{P}\left(a \mathrm{X}=\alpha x_{i}\right).
Ainsi, \mathrm{E}(a \mathrm{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{s} a x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)=a \times \displaystyle\sum_{i=1}^{s} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)=a \mathrm{E}(\mathrm{X}). - La deuxième égalité est démontrée dans l'exercice .
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Application et méthode - 2
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Énoncé
On joue à un jeu se déroulant en deux étapes.
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus. Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}).
- Dans la phase 1, on lance un dé équilibré à six faces.
Si le résultat obtenu est 1 ou 6, on gagne 9 points. Sinon, on perd 6 points. - Dans la phase 2, on lance une pièce équilibrée.
Si on obtient face, on gagne 6 points. Sinon, on perd 2 points.
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus. Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}).
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- Lorsque l'énoncé fait état d'une
variable aléatoire \text{X} correspondant à
une somme, à une différence ou à un
produit par un réel, il est souvent préférable
de décomposer cette variable
aléatoire en variables aléatoires « plus
simples ».
On commence donc par écrire cette variable aléatoire en somme/différence de variables aléatoires \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2}, plus faciles à étudier. - On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires.
- On en déduit alors \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right) et \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right).
- On conclut grâce à la linéarité de l'espérance.
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Solution
- Soient \mathrm{X}_{1} la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la première étape et \mathrm{X}_{2} la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la seconde étape. Dans ces conditions, on a \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}.
- On étudie ensuite les lois de probabilité de \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2}.
Loi de probabilité de \mathbf{X}_{1}
\mathrm{X}_{1} correspond au gain obtenu à la première étape et ne prend donc que deux valeurs : 9 et -6. Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité, donc on obtient \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=-6\right)=\frac{2}{3} \text { et } \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=9\right)=\frac{1}{3}.
Loi de probabilité de \mathbf{X}_{2}
\mathrm{X}_{2} correspond au gain obtenu à la seconde étape qui ne prend que deux valeurs : 6 et -2. Il s'agit aussi d'une situation d'équiprobabilité, donc on obtient \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{2}=-2\right)=\frac{1}{2} \text { et } \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{2}=6\right)=\frac{1}{2}. - On peut maintenant calculer les espérances de ces deux variables aléatoires : \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)=-6 \times \frac{2}{3}+9 \times \frac{1}{3}=-1 \text { et } \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=-2 \times \frac{1}{2}+6 \times \frac{1}{2}=2.
- En conclusion, on a \mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=-1+2=1.
Pour s'entraîner
Exercices
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BVariance d'une somme de variables aléatoires indépendantes
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Propriété
Soit \text{X} une variable aléatoire définie sur \Omega dont on note \mathrm{V}(\mathrm{X}) la variance.
Soit a \in \mathbb{R}. Alors \mathrm{V}(a \mathrm{X})=a^{2} \mathrm{V}(\mathrm{X}).
Soit a \in \mathbb{R}. Alors \mathrm{V}(a \mathrm{X})=a^{2} \mathrm{V}(\mathrm{X}).
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En reprenant
les notations
précédentes, on a \mathrm{V}(\mathrm{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{s}\left(x_{i}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2}\times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
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Démonstration
Si a = 0, la propriété est évidente car \mathrm{V}(0 \mathrm{X})=0 et 0^{2} \times V(X)=0.
On suppose que a \neq 0.
En notant x_{1} ; \ldots ; x_{s} les valeurs prises par \text{X}, alors a\text{X} prend les valeurs a x_{1} ; \ldots ; a x_{s}.
Par définition, \mathrm{V}(a \mathrm{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{s}\left(a x_{i}-\mathrm{E}(a \mathrm{X})\right)^{2} \mathrm{P}\left(a \mathrm{X}=a x_{i}\right).
Donc \mathrm{V}(a \mathrm{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{s}\left(a x_{i}-a \mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2} \mathrm{P}\left(a \mathrm{X}=a x_{i}\right) par propriété de l'espérance.
D'où, V(a X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{s} a^{2}\left(x_{i}-E(X)\right)^{2} P\left(X=x_{i}\right) car a \mathrm{X}=a x_{i} si, et seulement si, X=x_{i}.
Ainsi, \mathrm{V}(a \mathrm{X})=a^{2} \displaystyle\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)=a^{2} \mathrm{V}(\mathrm{X}).
On suppose que a \neq 0.
En notant x_{1} ; \ldots ; x_{s} les valeurs prises par \text{X}, alors a\text{X} prend les valeurs a x_{1} ; \ldots ; a x_{s}.
Par définition, \mathrm{V}(a \mathrm{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{s}\left(a x_{i}-\mathrm{E}(a \mathrm{X})\right)^{2} \mathrm{P}\left(a \mathrm{X}=a x_{i}\right).
Donc \mathrm{V}(a \mathrm{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{s}\left(a x_{i}-a \mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2} \mathrm{P}\left(a \mathrm{X}=a x_{i}\right) par propriété de l'espérance.
D'où, V(a X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{s} a^{2}\left(x_{i}-E(X)\right)^{2} P\left(X=x_{i}\right) car a \mathrm{X}=a x_{i} si, et seulement si, X=x_{i}.
Ainsi, \mathrm{V}(a \mathrm{X})=a^{2} \displaystyle\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)=a^{2} \mathrm{V}(\mathrm{X}).
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L'écart type \sigma(a \mathrm{X}) vérifie \sigma(a \mathrm{X})=|a| \sigma(\mathrm{X}).
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Exemple
Si \text{X} est une variable aléatoire vérifiant \mathrm{V}(\mathrm{X})=5, alors \mathrm{V}(2 \mathrm{X})=2^{2} \mathrm{V}(\mathrm{X})=4 \times \mathrm{V}(\mathrm{X})=4 \times 5=20.
De plus, \sigma(2 \mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(2 \mathrm{X})}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}=2 \sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}=2 \sigma(\mathrm{X}).
De plus, \sigma(2 \mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(2 \mathrm{X})}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}=2 \sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}=2 \sigma(\mathrm{X}).
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Définition
Soient \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \ldots, \mathrm{X}_{n}, n variables aléatoires à valeurs respectivement dans E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}.
On dit que \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \ldots, \mathrm{X}_{n} sont indépendantes lorsque, pour tous x_{1} \in \mathrm{E}_{1}, x_{2} \in \mathrm{E}_{2}, \ldots, x_{n} \in \mathrm{E}_{n} :
\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=x_{1} \cap \mathrm{X}_{2}=x_{2} \cap \ldots \cap \mathrm{X}_{n}=x_{n}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=x_{1}\right) \times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{2}=x_{2}\right) \times \ldots \times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n}=x_{n}\right).
On dit que \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \ldots, \mathrm{X}_{n} sont indépendantes lorsque, pour tous x_{1} \in \mathrm{E}_{1}, x_{2} \in \mathrm{E}_{2}, \ldots, x_{n} \in \mathrm{E}_{n} :
\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=x_{1} \cap \mathrm{X}_{2}=x_{2} \cap \ldots \cap \mathrm{X}_{n}=x_{n}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=x_{1}\right) \times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{2}=x_{2}\right) \times \ldots \times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n}=x_{n}\right).
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On
dit aussi que les
variables aléatoires
\mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} sont
mutuellement
indépendantes.
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Attention : Si les variables \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} sont deux à deux indépendantes, on ne peut pas en
conclure que \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} sont mutuellement indépendantes.
En effet, si on considère deux lancers de dés équilibrés indépendants et si on note :
On vérifie que \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2} et \text{Y} sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes.
En effet, si on considère deux lancers de dés équilibrés indépendants et si on note :
- \mathrm{X}_{1} (respectivement \mathrm{X}_{2}) la variable aléatoire valant 1 si le résultat du premier (second) dé est pair ;
- \text{Y} la variable aléatoire valant 1 si la somme des résultats des deux dés est paire et 0 sinon.
On vérifie que \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2} et \text{Y} sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes.
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Connaître
la parité de la somme
n'aide pas à deviner
celle d'un dé. De
même, connaître la
parité d'un dé n'aide
pas à déterminer celle
de la somme, ni de
l'autre dé. Mais, si l'on
sait la parité des deux
dés, alors on connaît
celle de la somme.
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Propriété
Si \text{X} et \text{Y} sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur \Omega, alors :
\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})
\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})
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Si \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} sont n
variables aléatoires
indépendantes définies
sur \Omega, alors \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\ldots+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{n}\right).
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Démonstration
Voir exercice .
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Application et méthode - 3
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Énoncé
On reprend le jeu et la variable aléatoire de l'application précédente (partie A).
Calculer \text{V(X)}.
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- Lorsqu'une variable aléatoire \text{X} correspond à une somme (différence) de variables aléatoires ou à un simple produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
- Ici, on commence donc par écrire \text{X} comme la somme de \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2}.
- On précise que \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2} sont indépendantes.
- On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2}.
- On en déduit alors \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right) et \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right).
- On obtient alors \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right) et \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right).
- On conclut enfin grâce aux propriétés de la variance dans le cas de variables aléatoires indépendantes : on a \mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right).
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Solution
On avait obtenu les lois de probabilité suivantes.
Les variables aléatoires \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2} sont indépendantes.
On a donc \mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=50+16=66.
| \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}} | -6 | 9 |
| \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=x_{i}\right) | \frac{2}{3} | \frac{1}{3} |
| \boldsymbol{y}_{\boldsymbol{i}} | -2 | 6 |
| \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{2}=y_{i}\right) | \frac{1}{2} | \frac{1}{2} |
- Dans un premier temps, on calcule \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right).
On avait obtenu \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)=-1 donc
\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)=\frac{2}{3}(-6-(-1))^{2}+\frac{1}{3}(9-(-1))^{2} \text { soit } \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)=\frac{150}{3}=50. - On calcule ensuite \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)
On avait obtenu \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=2 donc
\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=\frac{1}{2}(-2-2)^{2}+\frac{1}{2}(6-2)^{2} \text { soit } \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=16.
Les variables aléatoires \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2} sont indépendantes.
On a donc \mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=50+16=66.
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah