1. Représenter une variable comme somme de variables aléatoires plus simples.
2. Calculer l'espérance d'une variable aléatoire, notamment en utilisant la propriété de linéarité.
3. Calculer la variance d'une variable aléatoire, notamment en l'exprimant comme somme de variables aléatoires indépendantes.

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L'étude des sommes de variables aléatoires et de leurs propriétés permet de simplifier considérablement un certain nombre de problèmes. Parmi ces problèmes, voici celui de Montmort dont on donne une adaptation : on tire successivement et sans remise les 15 boules de billard américain, toutes numérotées de 1 à 15. On dit qu'il y a une « rencontre au k^e tirage » si on pioche la boule numérotée k au k^e tirage. Quel est le nombre moyen de rencontres ?

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Avant de commencer

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Prérequis

1. Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
2. Calculer l'espérance d'une variable aléatoire.
3. Calculer la variance et l'écart type d'une variable aléatoire.
4. Connaître les règles de calculs sur les arbres probabilisés.
5. Reconnaître une situation de loi binomiale.

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Anecdote

En 2009, l'Américaine Patricia Demauro aurait lancé 154 paires de dés durant une partie de craps sans jamais obtenir la somme 7 (pourtant la plus probable). On estime la probabilité de réalisation de cet événement à environ 6,4 \times 10^{-13}, soit environ 0,000000000064 %.

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1
Déterminer les valeurs d'une variable aléatoire

À la fin d'une partie de tarot, on compte les points de la manière suivante :

un bout ou un roi rapporte 4,5 points ;
une dame rapporte 3,5 points ;
un cavalier rapporte 2,5 points ;
un valet rapporte 1,5 point ;
toute autre carte rapporte 0,5 point.

On choisit aléatoirement une carte dans un paquet de tarot et on note \text{X} la variable aléatoire correspondant à la valeur de la carte obtenue. Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire \text{X} ?

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2
Calculer les caractéristiques d'une variable aléatoire

On lance un dé cubique équilibré et on joue au jeu suivant :

si le nombre obtenu est pair ou est égal à 3, on gagne 2 € ;
si le nombre obtenu est 1 ou 5, on perd 10 €.

On note \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur. 1. Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire \text{X} ?

2. Déterminer la loi de probabilité de \text{X}.

3. Calculer et interpréter l'espérance de \text{X}.

4. Déterminer la variance et l'écart type de \text{X}.

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3
Utiliser un arbre pondéré

Le gérant d'un magasin de téléphonie a établi les statistiques suivantes :

30 % de ses clients achètent un téléphone ;
parmi les clients achetant un téléphone, 80 % achètent également une coque de protection ;
parmi les clients n'achetant pas de téléphone, 15 % achètent une coque de protection.

On sélectionne au hasard un client du magasin. On définit les événements suivants :

\text{T} : « le client a acheté un téléphone portable » ;
\text{C} : « le client a acheté une coque de protection ».

1. Construire un arbre de probabilité adapté à la situation étudiée.

2. Calculer la probabilité que le client choisi achète à la fois un téléphone et une coque.

3. Calculer et interpréter \text{P(C)}.

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4
Loi binomiale

On estime que 23 % des trajets proposés par une compagnie rencontrent des retards. On choisit d'étudier de manière totalement aléatoire 100 trajets de la compagnie. On admet qu'on peut assimiler le choix des 100 trajets à un tirage avec remise.
On note \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de trains en retard parmi les 100 choisis. Justifier que \text{X} suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

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5
Problème

On considère un entier n \geqslant 1. On pioche avec remise deux jetons d'une urne contenant deux jetons noirs et n jetons rouges.
Chaque jeton ayant la même probabilité d'être choisi, on joue au jeu suivant :

on gagne 1 point si on obtient deux jetons rouges ;
on gagne 20 points si on obtient deux jetons noirs ;
on perd 6 points si on obtient deux jetons de couleurs différentes.

Existe‑t‑il des valeurs de n pour lesquelles le jeu est équitable ? Justifier.

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Sommes de variables aléatoires

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3 Utiliser un arbre pondéré

4 Loi binomiale

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