L'avion considéré peut contenir 124 passagers. Chaque passager se présente à l'embarquement, indépendamment des autres passagers, avec une probabilité égale à 0{,}91. Le nombre de billets vendus par la compagnie aérienne est noté n. Cet entier est supérieur ou égal à 124.

1. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre de passagers se présentant à l'embarquement.
Quelle est la loi de probabilité suivie par \text{X} ?

2. Dans cette question, on suppose que 126 billets ont été vendus.
a. Quelle est la probabilité qu'un problème de surréservation survienne à l'embarquement ? Justifier.

b. Quel est le nombre moyen de passagers qui se présentent à l'embarquement ? Justifier.

L'entreprise cherche ici à optimiser ses profits. Chaque client qui se présente et qui peut embarquer rapporte 100 € à la compagnie aérienne. En revanche, chaque client qui se présente mais qui se voit refuser la possibilité de monter à bord coûte 150 € à la compagnie aérienne. Un client qui ne se présente pas peut se faire rembourser en partie son billet et permet un profit de 30 € à la compagnie aérienne.

Optimiser le profit, dans un cas simple de surréservation, en choisissant le nombre de billets à vendre et en se fixant différentes contraintes.