Loi binomiale

1. Modéliser une situation par une succession d'épreuves indépendantes ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques.
2. Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli, par une loi binomiale.
3. Utiliser l'expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison ou d'optimisation.
4. Dans le cadre d'une résolution de problème modélisé par une variable binomiale \text{X}, calculer numériquement une probabilité du type \mathrm{P}(\mathrm{X}=k), \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k), \mathrm{P}\left(k \leqslant \mathrm{X} \leqslant k^{\prime}\right).
5. Chercher un intervalle \text{I} pour lequel la probabilité \mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) est inférieure à une valeur donnée \alpha, ou supérieure à 1 - \alpha.

\text{A} et \text{B} désignent deux événements d'une expérience aléatoire modélisée par l'arbre pondéré ci‑dessous.

La loi binomiale, tirant son nom de la formule du binôme de Newton, fait partie des toutes premières lois de probabilités étudiées dans l'histoire, notamment par Jacob Bernoulli et son neveu Nicolas I, Leibniz, de Moivre, de Montmort. La loi est notamment discutée dans l'ouvrage inachevé de Jacob Bernoulli L'art de conjecturer, paru en 1713 huit ans après sa mort prématurée. Suite à une querelle de famille, sa veuve et son fils ont d'abord refusé que le frère ou le neveu ne l'éditent, avant de le faire paraître en l'état sans doute pour prouver que Jacob avait anticipé et inspiré la plupart des traités qui avaient été publiés sur le sujet entretemps !

1

Compléter un arbre pondéré

Compléter l'arbre ci‑dessus.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2

Utiliser la formule des probabilités totales

Déterminer \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) puis \mathrm{P}(\mathrm{B}).

3

Utiliser les probabilités conditionnelles

Déterminer \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) et \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

4

Déterminer l'indépendance de deux événements

\text{A} et \text{B} sont‑ils des événements indépendants ? Justifier la réponse.