1

Une épreuve de Bernoulli de paramètre \boldsymbol{p} est une expérience aléatoire à deux issues dont l'une, appelée « succès », a pour probabilité \boldsymbol{p}. Un schéma de Bernoulli de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p} est la répétition de \boldsymbol{n} épreuves de Bernoulli de paramètre \boldsymbol{p} identiques et indépendantes. Cela permet de :

✔ modéliser de nombreuses expériences aléatoires dans un contexte de répétition d'expériences à deux issues ;
✔ faire des calculs de probabilité sans construire l'arbre pondéré correspondant à la situation : chaque chemin menant à k succès correspond à une probabilité p^{k}(1-p)^{n-k} et il y a \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) chemins menant à k succès.

2

Une variable aléatoire \mathbf{X} qui compte le nombre de succès dont la probabilité est \boldsymbol{p} dans un schéma de Bernoulli de \boldsymbol{n} épreuves suit une loi binomiale de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p}. Cela permet de :

✔ calculer la probabilité d'obtenir k succès : pour 0 \leqslant k \leqslant n, \mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} ;
✔ déterminer un intervalle \text{I} tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \leqslant \alpha (ou \mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \geqslant 1-\alpha) avec \alpha \in[0~; 1].

3

L'espérance et la variance d'une variable aléatoire \mathrm{X} qui suit une loi binomiale de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p} sont obtenues grâce aux formules \mathbf{E}(\mathbf{X})=\boldsymbol{n} \boldsymbol{p} et \mathbf{V}(\mathbf{X})=\boldsymbol{n} \boldsymbol{p}(\mathbf{1}-\boldsymbol{p}). Cela permet de :

✔ calculer l'espérance d'une variable aléatoire et d'en donner une interprétation en lien avec un contexte utilisant la loi binomiale ;
✔ calculer la variance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ;
✔ calculer l'écart type de \text{X} : \sigma(\mathrm{X})=\sqrt{n p(1-p)}.