Soient n un entier naturel non nul, \alpha et p deux nombres réels appartenant à [0~; 1] et \text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale \mathcal{B}(n~; p).
Il existe un intervalle \text{I} non vide tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \geqslant 1-\alpha.

Cette propriété démontre l'existence d'un intervalle qui convient mais cet intervalle n'est pas unique.

On considère la variable aléatoire \text{X} qui suit la loi binomiale \mathcal{B}(n~; p) avec n=40 et p=0{,}38. Dans chaque cas, déterminer les entiers a ou b vérifiant \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95 et la condition donnée.

1. On pose a = 0 et on cherche le plus petit entier b qui puisse convenir.
2. On pose b = 40 et on cherche le plus grand entier a qui puisse convenir.
3. On cherche l'intervalle [a~; b] de plus petite amplitude possible tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) (arrondir à 10^{-2} près).

1. On remarque que \mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) puis on utilise la calculatrice pour obtenir la valeur de b souhaitée.

2. On remarque que \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant n)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a) puis on utilise à nouveau la calculatrice.

3. On s'aide des questions 1. et 2. pour faire des tests à la calculatrice et trouver un intervalle qui convient.