Avec une loi binomiale

On donne le programme ci-dessous.

from math import *
from random import *
n = int(input("Entrer la valeur du parametre n"))
N = int(input("Entrer le nombre de simulations de l'experience"))

def binom(n):
	C = 0
	# On reitere l'experience n fois
	for i in range(n):
		X = randint(1, 10)
		if X ...:
			C = C + 1
	return C

def simulation(n, N):
	simul = []
	# On simule N fois Sn
	for k in range(N):
		simul.append(binom(n))
	return simul

a = simulation(n, N)
K = 0
for i in range(0, len(a)):
	if abs(a[i] - ... ) >= sqrt(n):
		K = K + 1
print(K/N)

1. Compléter les pointillés pour simuler effectivement l'expérience avec p = 0{,}4.

2. Quels sont les rôles des variables \text{C} et \text{K} ?

3. On fixe n = 100. Tester le programme et noter les résultats obtenus pour \text{N} = 50, \text{N} = 100, \text{N} = 500 et \text{N} = 1\:000.

4. Comparer les résultats obtenus avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

5. Modifier le programme pour que la valeur de p puisse être choisie par l'utilisateur.

1. Ouvrir l'application GeoGebra et aller dans le menu probabilités. Choisir le mode distribution puis loi binomiale. Entrer les paramètres n = 100 et p = 0{,}4. On obtient le résultat suivant.


2. Traduire l'événement \left|\mathrm{S}_{n}-n p\right| \geqslant \sqrt{n} dans ce cas de figure.

3. a. Quel est son événement contraire ?

b. Déterminer sa probabilité grâce au logiciel puis en déduire la probabilité voulue.

4. Comparer le résultat avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

5. Faire le même travail pour n = 100 et p = 0{,}75.

6. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev semble-t-elle être une bonne majoration ? Justifier.