Loi des grands nombres

1. Calculer \text{E(Z)} et \text{V(Z)}.

2. Calculer \text{E(2Z)} et \text{V(2Z)}.

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Utiliser un algorithme

Une personne décide de créer un jeu pour animer une soirée. Une autre personne tire de manière équiprobable une carte d'un jeu de 52 cartes. Si elle obtient un roi, elle gagne 3  € et si elle obtient une autre figure, elle gagne 2 €. Enfin, si elle obtient une carte de valeur inférieure ou égale à 10, elle perd une somme x qui varie d'un jour à l'autre.

On note \text{X} le gain algébrique associé à l'expérience. Écrire un programme en langage Python qui permette de calculer l'espérance de la variable aléatoire \text{X} en fonction de x.

Une urne contient huit boules rouges et n boules blanches où n \geqslant 3.
On tire une boule au hasard dans l'urne et on admet que les boules sont indiscernables au toucher. Si on tire une boule rouge, on gagne 4 € et si on tire une boule blanche, on perd 3 €. On désigne par \text{X} la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. 1. a. Donner les valeurs possibles prises par \text{X}.

b. Établir, en fonction de n, la loi de probabilité de \text{X}.

c. Exprimer l'espérance de \text{X} en fonction de n.

d. Pour quelles valeurs de n le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

2. Le joueur tire successivement deux boules sans remise. On désigne par \text{Y} la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

a. Donner les valeurs possibles prises par \text{Y}

b. Établir, en fonction de n, la loi de probabilité de \text{Y}

c. Exprimer l'espérance de \text{Y} en fonction de n

d. Pour quelles valeurs de n, le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.