L'inégalité de Markov ne fournit aucune information utile lorsque :

a. a \gt \mathrm{E}(\mathrm{X})

b. a=1

c. a \leqslant \mathrm{E}(\mathrm{X})

d. Jamais

Sur un vol de 325 voyageurs, une compagnie aérienne décide d'attribuer 340 billets.
Elle perd de l'argent pour un nombre strictement inférieur à 317 passagers et ne peut pas trouver un autre vol aux personnes en surréservation pour un nombre strictement supérieur à 329 passagers.
On donne \text{E(X)} = 323 et \text{V(X)} = 16{,}15 où \text{X} compte le nombre de passagers effectivement présents. Que peut-on dire de la probabilité que la compagnie ne perde pas d'argent et qu'elle trouve un vol à tout le monde ?

a. Elle est supérieure à 0{,}65.

b. Elle est inférieure à 0{,}45.

c. Elle est supérieure à 0{,}75.

d. Elle est inférieure à 0{,}55.

Que simule l'algorithme suivant ?

a. Une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0{,}1.

b. Une loi binomiale de paramètres n et p = 0{,}1.

c. Une loi binomiale de paramètres inconnus.

d. Une expérience dont on ignore la loi.

On lance n fois un dé équilibré à six faces et on note le nombre de fois où on obtient la face numéro 4. Combien de lancers faut-il effectuer au minimum pour que la probabilité de s'écarter de la moyenne d'au moins 0{,}1 soit inférieure à 0{,}1 ?

a. 59

b. 109

c. 373

d. 139

Dans quels cas peut-on appliquer l'inégalité de Markov sur la variable aléatoire \text{X} ?

a. \text{X} représente la note à un contrôle.

b. \text{X} représente la température sur une année.

c. \text{X} représente le nombre de points d'une équipe de football.

d. \text{X} représente le gain à un jeu de paris sportifs.

Sur un QCM de 20 questions, avec quatre propositions dont une seule est juste, quelle valeur peut-on considérer comme estimateur de la moyenne des candidats s'ils répondent au hasard ?

a. 4

b. 6

c. 5

d. 7

La taille moyenne des hommes est de 170 cm et la variance est de 7{,}2 cm. On prend un homme au hasard et on note \text{X} la variable aléatoire donnant sa taille en centimètre.
Alors \mathrm{P}(|\mathrm{X}-170| \geqslant 5) est inférieure ou égale à :

a. 0{,}25

b. 0{,}288

c. 0{,}312

d. 0{,}35

La moyenne des notes des élèves d'un lycée est de 11{,}4 et la variance de 1{,}2. Sur une classe de 36 élèves, on peut dire que la probabilité que la moyenne de la classe soit dans l'intervalle ]9 \: ; 13{,}8[ est :

a. Supérieure à 0{,}79.

b. Inférieure à 0{,}79.

c. Inférieure à 0{,}21.

d. Supérieure à 0{,}21.

15

Pour chaque membre i d'un groupe de n personnes, on note \text{X}_i la variable aléatoire qui vaut 1 si la personne est née au mois de mars et 0 sinon.
On suppose qu'on est dans une situation d'équiprobabilité et on pose \mathrm{M}_{n}=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \mathrm{X}_{k}.

Déterminer n pour que la probabilité de l'évènement \left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)\right| \geqslant 0{,}1 soit inférieure à 0{,}05.

A

La moyenne d'une classe de Terminale à un devoir de mathématiques est de 12. La probabilité qu'un élève ait eu au moins 16 à ce test est :

a. supérieure à \dfrac{3}{4}.

b. inférieure à \dfrac{3}{4}.

c. supérieure à \dfrac{1}{4}.

d. inférieure à \dfrac{1}{4}.

B

Soit a un réel positif et \text{X} un variable aléatoire. Dans le cas où a=\text{E} \left( \text{X} \right), l'inégalité de Markov :

a. ne fournit aucune information utile.

b. permet, dans ce cas précis, de trouver la probabilité exacte de l'événement \text{X} \geqslant a.

C

On lance 4 fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit \text{X} la variable aléatoire valant 1 si, au cours de ces quatres lancers, la pièce est tombé exactement deux fois de suite sur pile, et 0 sinon. On appellera succès ce premier événement.
Que peut-on alors dire ?

a. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers \dfrac{1}{4}.

b. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers \dfrac{3}{8}.

c. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers \dfrac{5}{16}.

d. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers \dfrac{1}{2}.

D

L'inégalité de Markov peut s'appliquer si la variable aléatoire représente :

a. un nombre de personnes.

b. une température.

c. l'argent sur un compte en banque.

d. le nombre de parties gagnées à un jeu.

E

Un footballeur marque en moyenne 12 buts par saison avec une variance de 2. La probabilité qu'il marque entre 9 et 15 buts est :

a. inférieure à \dfrac{2}{3}.

b. inférieure à \dfrac{2}{9}.

c. supérieure à \dfrac{2}{3}.

d. supérieure à \dfrac{2}{9}.

F

Soit \text{X} une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètres n=20 et p. L'inégalité de Markov donne \text{P} ( \text{X} \geqslant 5) \leqslant 0,8. On peut alors dire que :

a. \text{V} \left( \text{X} \right)=1,6.

b. \text{V} \left( \text{X} \right)=3,2.

c. \text{P} \left( \mid \text{X} - 4 \mid \geqslant 5 \right) \leqslant 0{,}64.

d. \text{P} \left( \mid \text{X} - 4 \mid \geqslant 5 \right) \leqslant 0{,}32.

G

On considère une variable aléatoire telle que l'espérance est égale au double de la variance. De plus, les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev appliquées au même réel a permettent de trouver le même majorant 0,2. Alors :

a. \text{E} \left( \text{X} \right)=0{,}1 et \text{V} \left( \text{X} \right)=0{,}05.

b. \text{E} \left( \text{X} \right)=0{,}2 et \text{V} \left( \text{X} \right)=0{,}4.

c. a=0{,}25.

d. a=0{,}5.

H

Soit \text{X}_{1} \: , \ldots \: , \text{X}_{n} une suite de variable aléatoire identiquement distribuées et indépendantes. Alors :

a. Si \text{V} \left( \text{X}_{i} \right)=0{,}16 et n=100 alors \text{P} \left( \mid \text{M}_n - \text{E} \left( \text{X}_i \right) \mid \geqslant 0{,}1 \right) est majorée par 0{,}04.

b. Si \text{V} ( \text{X}_{i})=0{,}16 et n=100 alors \text{P} \left( \mid \text{M}_n - \text{E} \left( \text{X}_i \right) \mid \geqslant 0{,}1 \right) est majorée par 0{,}08.

c. Si \text{V} ( \text{X} _{i})=0{,}16 et n=100 alors \text{P} \left( \mid \text{M}_n - \text{E} \left(\ \text{X}_i \right) \mid \geqslant 0{,}1 \right) est majorée par 0{,}16.

d. Si \text{V} \left( \text{X}_{i} \right)=0{,}16 et n=100 alors \text{P} \left( \mid \text{M}_n- \text{E} \left(\text{X}_i \right) \mid \geqslant 0{,}1 \right) est majorée par 0{,}32.