1

L'inégalité de Markov affirme que si \mathbf{X} est une variable aléatoire positive ou nulle, alors, pour tout réel \boldsymbol{a} strictement positif, \mathbf{P}(\mathbf{X} \geqslant \boldsymbol{a}) \leqslant \frac{\mathbf{E}(\mathbf{X})}{\boldsymbol{a}}. Cela permet de :

✔ majorer une probabilité qu'on ne sait pas forcément calculer ;
✔ estimer une proportion inconnue..

2

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que si \mathbf{X} est une variable aléatoire, alors, pour tout réel \boldsymbol{a} strictement positif, \mathbf{P}(|\mathbf{X}-\mathbf{E}(\mathbf{X})| \geqslant \boldsymbol{a}) \leqslant \frac{\mathbf{V}(\mathbf{X})}{\boldsymbol{a}^\mathbf{2}}. Cela permet de :

✔ majorer la probabilité que l'écart entre une variable aléatoire et son espérance soit supérieur ou égal à une quantité donnée (de façon grossière) ;
✔ déterminer l'écart maximal par rapport à l'espérance respectant une précision souhaitée.

3

L'inégalité de concentration affirme que pour tout réel \boldsymbol{a} strictement positif, \mathbf{P}\left(\left|\mathbf{M}_{n}-\mathbf{E}(\mathbf{X})\right| \geqslant \mathbf{a}\right) \leqslant \frac{\mathbf{V}(\mathbf{X})}{\mathbf{n} \mathbf{a}^\mathbf{2}}, où \mathbf{M}_\mathbf{n}=\frac{\mathbf{X}_\mathbf{1}+\mathbf{X}_\mathbf{2}+\ldots+\mathbf{X}_\mathbf{n}}{\mathbf{n}} représente la variable aléatoire moyenne. Cela permet de :

✔ montrer qu'une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi converge vers la moyenne empirique ;
✔ déterminer, en fonction de la taille d'un échantillon, la probabilité de s'écarter de la moyenne d'un réel fixé.

4

La loi des grands nombres affirme que la variable aléatoire \mathbf{M}_\mathbf{n} vérifie, pour tout réel a strictement positif,

\lim \limits_{\boldsymbol{n} \rightarrow+\infty} \mathbf{P}\left(\left|\mathbf{M}_{\boldsymbol{n}}-\mathbf{E}(\mathbf{X})\right| \geqslant \boldsymbol{a}\right)=\mathbf{0}

. Cela permet de :

✔ montrer que la moyenne empirique est un estimateur légitime d'une proportion inconnue ;
✔ estimer une probabilité ou une proportion à l'aide de simulations numériques.