À un jeu de grattage, 450 0000 tickets sont émis et vendus chacun au prix de 2 €. Chaque ticket permet de remporter ou non un gain. Les différents gains sont répartis comme décrits dans le tableau ci‑dessous.


Un joueur achète un ticket au hasard chez un buraliste.

On note \text{G} la variable aléatoire correspondant au gain réel du joueur (gain brut – mise).

1. Préciser les valeurs prises par \text{G}.

2. Déterminer la loi de probabilité de \text{G} (les probabilités seront écrites sous forme de fractions).

3. Montrer que la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne réellement de l'argent en jouant à ce jeu est de 0,158.

4. Un autre joueur décide d'acheter deux tickets de ce jeu au hasard. On rappelle que la probabilité de gagner réellement de l'argent en jouant à ce jeu est de 0,158. On note \text{S} l'événement « Le ticket acheté permet de gagner de l'argent. ».

a. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

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b. Déterminer la probabilité que ce joueur ait acheté deux tickets lui permettant de gagner réellement de l'argent. Arrondir au millième.

1. Les valeurs prises par \text{G} sont : 24\:998, 998, 98, 18, 8, 2, 0 et -2.

2. On donne la loi de \text{G} dans un tableau :


3. Le joueur gagne réellement de l'argent lorsque le montant du gain est strictement supérieur à 0 €. On veut donc calculer \mathrm{P}(\mathrm{G}\gt0), qui est ici égal à \mathrm{P}(\mathrm{G} \geqslant 2) compte tenu des valeurs prises par \text{G}.

On a bien :

\begin{aligned} \text{P}(\text{G}\gt0) &=\frac{1}{1\:500\:000}+\frac{4}{2\:250\:000}+\frac{1}{750\:000}+\frac{13}{450}+\frac{505\:504}{4\:500\:000} \\ &=\frac{3+8+600+75\:000+130\:000+505\:504}{4\:500\:000} \\ & \approx 0{,}158 . \end{aligned}

4. a. On peut traduire la situation par l'arbre de probabilité ci‑dessous.
La probabilité de ne pas gagner réellement de l'argent à ce jeu est de 1-0{,}158=0{,}842.


b. La probabilité que les deux tickets fassent réellement gagner est de 0{,}158 \times 0{,}158 \approx 0{,}025.

Dans une population, une personne sur 250 est porteuse d'un gène qui entraîne, à l'âge adulte, une maladie handicapante.

1. On choisit trois personnes au hasard dans cette population, qui est suffisamment grande pour que ce choix puisse être assimilé à trois tirages successifs avec remise.

a. Justifier qu'il s'agit de la répétition de trois épreuves aléatoires et indépendantes de Bernoulli dont on donnera le paramètre.

b. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

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c. En déduire la probabilité qu'au moins une personne parmi les trois soit porteuse du gène.

2. On teste des personnes au hasard dans cette population jusqu'à ce qu'on obtienne une personne porteuse du gène. On veut modéliser cette expérience à l'aide d'une fonction qui retourne le nombre de personnes à tester avant d'en trouver une porteuse du gène.

a. Compléter le programme ci‑dessous écrit en langage Python.

from random import randint
def malade():
  n = 1
  X = randint(1,250)
  while X != 1:
    X = ...
    n = ...
  return n

b. Que permet de conclure l'affichage donné par l'instruction suivante écrite en langage Python ?

>>> malade()
575

Plusieurs fois par jour, un auxiliaire de puériculture change le nourrisson dont il a la charge en choisissant une couche au hasard, puis prépare un biberon, en utilisant un lait qu'il choisit au hasard également. Le stock de couches est composé de 50 % de couches de la marque Nouvonez à 0,25 € l'unité, 30 % de couches de la marque Supersec à 0,35 € l'unité et 20 % de couches de la marque distributeur à 0,15 € l'unité.

Dans le placard de la cuisine, l'auxiliaire de puériculture dispose de 60 % de lait Vitamax (le coût du biberon est alors de 0,10 €) et 40 % de lait Grandivit (le coût du biberon est alors de 0,15 €).

Dans tout l'exercice, on appelle séquence l'action de changer le nourrisson, puis de lui donner un biberon.

1. Construire un arbre illustrant cette séquence.

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2. Calculer la probabilité que, lors d'une séquence, l'auxiliaire de puériculture utilise une couche Nouvonez et le lait Grandivit.
Quel est alors le coût d'une telle séquence ?

3. Soit \text{X} la variable aléatoire qui, à chaque séquence, associe son coût en euro.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire \text{X}.

4. Calculer l'espérance de \text{X} et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On admet que la probabilité que l'auxiliaire de puériculture utilise la séquence la moins chère est égale à 0,12. L'auxiliaire de puériculture change et nourrit le nourrisson quatre fois au cours d'une même journée.

5. Quelle est la probabilité qu'au cours d'une journée l'auxiliaire de puériculture utilise quatre fois la séquence la moins chère pour ce nourrisson ?

Des plats cuisinés d'un certain type sont fabriqués en grandes quantités. On prélève au hasard un plat d'un lot dans lequel 97 % des plats sont conformes au cahier des charges. On remet le plat dans le lot et on effectue un deuxième prélèvement d'un plat. On refait un troisième prélèvement dans les mêmes conditions.

1. Justifier que cette expérience est un schéma de Bernoulli dont on précisera les paramètres.

2. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.

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3. Calculer la probabilité de l'événement \text{C} « Les trois plats prélevés sont conformes au cahier des charges. ». On donnera une valeur approchée du résultat au millième.

4. On note \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre de plats conformes.

a. Déterminer la loi de probabilité de \text{X}.

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b. Des deux événements suivants, lequel est le plus probable : \{\mathrm{X} \leqslant 2\} ou \{\mathrm{X}=3\} ?