On tire une boule dans une urne qui contient 20 boules, dont 10 unies et 10 rayées, et portant les numéros 1 à 10 dans chacune des deux catégories.

On note respectivement \text{U} et \text{D} les événements « La boule est unie. » et « La boule porte le numéro dix. ».

1. Interpréter les événements \overline{\mathrm{U}} et \overline{\mathrm{D}}.

2. a. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 10 ?

b. Cette probabilité dépend‑elle de la texture (rayée ou unie) de la boule ?

3. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter l'arbre ci‑dessous, représentant cette situation.

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4. Quelle est la probabilité de tirer la boule unie numéro 10 ? Pouvait‑on déterminer ce résultat sans l'arbre ?

Liliane et Ben veulent se retrouver à la bibliothèque pour travailler ensemble, mais ils ne se sont pas donné d'heure de rendez‑vous.

Ils décident tous les deux, indépendamment, d'arriver à 8 h ou à 9 h. La probabilité que Liliane arrive à 8 h est \frac{3}{8} et elle est de \frac{1}{6} pour Ben.

On note respectivement \text{B} et \text{L} les événements « Ben arrive à 8 heures. » et « Liliane arrive à 8 heures. ».

1. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter l'arbre de probabilité suivant.

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2. Calculer et interpréter \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{L}).

3. Calculer et interpréter \mathrm{P}(\mathrm{B} \cup \mathrm{L}).

4. Calculer la probabilité qu'aucun des deux n'arrive à 8 h.

Pour agrémenter ses pains, un boulanger ajoute de la farine de seigle dans un tiers d'entre eux et des graines de lin dans 30 % de ses produits. Ces ajouts se font à des étapes différentes et de manière indépendante, le pain au seigle ayant le même aspect que les autres.

On choisit un pain au hasard. On note \text{S} et \text{L} les événements « Le pain contient du seigle. » et « Le pain contient des graines de lin. ».

1. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous.

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2. Quelle est la probabilité de choisir un pain au seigle et aux graines de lin ?

3. Calculer et interpréter \mathrm{P}(\overline{\mathrm{S}} \cap \mathrm{L}).

4. Calculer la probabilité que le pain choisi contienne du seigle ou du lin mais pas les deux.

Un jeu consiste à lancer une pièce bien équilibrée. On gagne 2 points si elle tombe sur « Pile » au premier lancer. Si elle tombe sur « Face », on lance une seconde fois. On gagne alors 1 point si elle tombe sur « Pile » et 0 point sinon.

On note respectivement \text{P} et \text{F} les événements « Tomber sur pile. » et « Tomber sur face. ».

1. Parmi les deux arbres suivants, lequel représente cette situation ?

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2. Soit \text{X} la variable aléatoire définie par le nombre de points gagnés à une partie.
Donner la loi de probabilité de \text{X}.

3. Calculer et interpréter \mathrm{P}(\mathrm{X}>0).

4. Calculer et interpréter \mathrm{E}(\mathrm{X}).

En France, on estime à 5 % le taux de personnes souffrant de diabète. On choisit au hasard 50 personnes dans la population et on regarde si elles sont diabétiques ou non.

1. Donner un ordre de grandeur de la population française. Pourquoi le choix de 50 personnes peut‑il être assimilé à un tirage avec remise ?

2. Justifier que cette expérience définit un schéma de Bernoulli et donner ses paramètres.

3. Montrer que la probabilité qu'aucune des 50 personnes ne soit diabétique est d'environ 7,7 %.

On tire successivement et avec remise deux pièces mécaniques sur la chaîne de production d'une usine. On estime que 16 % des pièces fabriquées dans cette usine possèdent un défaut de fabrication.

On note \text{S} l'événement « La pièce a un défaut. ».

1. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous.

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2. Calculer la probabilité de tirer deux pièces ayant un défaut.

3. Calculer la probabilité de tirer au moins une pièce avec un défaut.

Une agence de voyages prétend que 78 % de ses clients sont satisfaits de l'entreprise. On interroge 3 clients au hasard, ce choix étant assimilé à un tirage avec remise.

On note \text{S} l'événement « Le client est satisfait. ».

1. Justifier que cette expérience définit un schéma de Bernoulli et préciser ses paramètres.

2. Construire l'arbre de probabilité associé au schéma de Bernoulli défini par les trois répétitions.

3. Calculer la probabilité qu'aucun des trois clients ne soit satisfait.

Alex lance à Barbara le défi d'obtenir au moins deux 6 en lançant huit fois un dé équilibré.
Barbara propose : « Je vais faire mieux : en seulement 4 lancers, je vais obtenir au moins un 6 ».

A priori, est‑il plus facile d'avoir au moins deux 6 en huit lancers qu'au moins un 6 en quatre lancers ? Pour le vérifier, on va simuler plusieurs parties de chaque jeu.

1. Ouvrir une feuille de calcul. Justifier que la formule suivante, à entrer en A1, simule l'apparition d'un 6 lors d'un lancer de dé : \color{purple}\bf{=SI( ALEA.ENTRE.BORNES(1; 6) \lt 6; 0;1)}.

2. Recopier cette formule en B1, C1 et D1. Expliquer pourquoi la formule \color{purple}\bf{=SI( SOMME(A1:D1) \gt 0; 1; 0)} affiche 1 si au moins un des quatre résultats est 6 et 0 dans le cas contraire. Entrer cette formule en E1.

3. Simuler de la même manière, dans les cases G1 à N1, une partie de huit lancers de dé.

Comment doit‑on modifier la formule entrée en E1 afin qu'elle affiche 1 si au moins deux résultats sont des 6 ? Entrer cette nouvelle formule en O1.

4. Recopier la ligne 1 sur 200 lignes et comparer la fréquence de 1 dans la colonne E avec la fréquence de 1 dans la colonne O. Qu'observe‑t‑on ?

Pour un sondage au Japon, on a classé dans un fichier les personnes interrogées selon leur lieu d'habitation et selon leur âge, ces deux critères étant supposés indépendants.

On choisit une personne au hasard dans le fichier.
On note respectivement \text{T, J, M} et \text{S} les événements « La personne choisie habite à Tokyo. », « La personne a moins de 25 ans. », « La personne a entre 25 ans et 60 ans. » et « La personne a plus de 60 ans. ».

Environ 28 % de la population japonaise, tous âges confondus, vit à Tokyo. De plus, 23 % de la population a moins de 25 ans, 40 % a entre 25 et 60 ans et 37 % a plus de 60 ans.

1. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous.

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2. Calculer la probabilité que la personne choisie ait moins de 25 ans et habite à Tokyo.

3. Calculer la probabilité que la personne choisie ait plus de 25 ans et habite en dehors de Tokyo.

On considère le schéma de Bernoulli représenté par l'arbre ci‑dessous. On note \text{S} le succès et \text{E} l'échec.


1. Donner \mathrm{P}(\mathrm{S}).

2. Calculer la probabilité d'obtenir deux succès.
En déduire la probabilité d'avoir au plus un succès.

3. Calculer la probabilité d'avoir un seul succès.

Lors d'un sondage, pour s'assurer que l'échantillon des personnes sondées est représentatif (par rapport à un critère) de la population étudiée, on vérifie que les proportions de la population initiale sont conservées. Par exemple, si la population étudiée est composée de 30 % de moins de 25 ans, de 45 % de 26‑63 ans et de 25 % de plus de 63 ans, il faut que ces proportions soient les mêmes dans l'échantillon sondé.

En pratique, si on n'arrive pas à interroger suffisamment de personnes d'une catégorie, on multiplie les résultats de chaque catégorie par un coefficient permettant de rééquilibrer l'échantillon des personnes sondées.

On considère une expérience aléatoire définissant un schéma de Bernoulli de paramètres n = 4 et p = 0{,}02.

1. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux succès.

2. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès.

Une association doit élire un président et un secrétaire. Ils décident de tirer au hasard deux noms dans une urne contenant les noms des 25 membres de l'association. On choisit pour succès l'événement « Le nom Bruno est tiré. ».

1. Deux choix se posent : soit le tirage est fait avec remise, de sorte qu'une même personne puisse avoir les deux rôles, soit le tirage est fait sans remise. Dans quel cas cette expérience suit‑elle un schéma de Bernoulli ?

2. On suppose que le tirage se fait avec remise. Soit \text{X} la variable aléatoire définie par le nombre de fois où le nom Bruno est tiré. Interpréter l'événement \{\text{X}=2\} et calculer sa probabilité.