L'univers de cette expérience aléatoire est l'ensemble des couples qu'on peut obtenir en lançant les deux dés : (1 \: ; 1)\: ; (1 \: ; 2)\: ; (1 \: ; 3)\: ; ... \: ; (6 \: ; 6). Dans le couple (x \: ; y) , le nombre x correspond au résultat du premier dé et y correspond au résultat du second dé.

À partir de cette situation, on peut définir une variable aléatoire qui donne le nombre de points gagnés. Cette variable aléatoire est donc à valeurs dans l'ensemble \{0 \: ; 1 \: ; 10\}.

On s'intéresse aux probabilités des événements définis par les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire : \{\mathrm{X}=10\},\{\mathrm{X} \geqslant 1\} et \{\mathrm{X}=0\}, par exemple, qui correspondent respectivement aux événements « Gagner 10 points. », « Gagner au moins 1 point. » et « Gagner 0 point. ».

On pioche au hasard une boule dans une urne opaque qui contient cinq boules rouges, rapportant chacune 1 €, deux boules bleues rapportant chacune 2 € et cinq autres boules rapportant respectivement 3 €, 4 €, 5 €, 6 € et 7 €. On suppose que toutes ces boules sont indiscernables au toucher.

Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain obtenu. \text{X} peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
Les boules étant indiscernables au toucher, nous sommes en situation d'équiprobabilité.
Ainsi, la probabilité de gagner 1 € correspond à la probabilité de choisir une des cinq boules rouges parmi les douze boules. On a donc \text{P}(\text{X}=1)=\frac{5}{12}.

On raisonne de même pour les autres valeurs prises par \text{X}.
La loi de probabilité de \text{X} est alors donnée dans le tableau suivant.


Dans ce cas, la probalité de gagner au maximum deux points vaut :

\text{X} peut prendre les valeurs -10, 0, 50 et 100.

On obtient la loi de probabilité de \text{X}.


On en déduit la probabilité que le gain soit négatif ou nul.

\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 0)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=-10)=\frac{17}{37}+\frac{17}{37}=\frac{34}{37}.

La probabilité que le joueur ne gagne pas d'argent à ce jeu est donc \frac{34}{37}.

Pour s'entraîner : exercices

23

et

24 p. 128

L'espérance de \text{X} est \mathrm{E}(\mathrm{X})=0 \times 0{,}05+1 \times 0{,}1+2 \times 0{,}52+3 \times 0{,}13+4 \times 0{,}2=2{,}33.

Les valeurs prises par \text{X} sont \text{5, 10, 20, 25, 50, 100} et \text{0} pour les tickets perdants.
La loi de probabilité de \text{X} est donc la suivante :


Ainsi, l'espérance de \text{X} est :

\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{X}) & =0 \times \frac{400}{500}+5 \times \frac{40}{500}+10 \times \frac{28}{500}+20 \times \frac{15}{500}+25 \times \frac{12}{500}+50 \times \frac{4}{500}+100 \times \frac{1}{500} \\ & =\frac{200+280+300+300+200+100}{500}=\frac{1380}{500}=2,76. \end{aligned}

Le gain moyen à cette loterie est de 2,76 € par billet. Autrement dit, sur un grand nombre de billets achetés, on remporte en moyenne 2,76 € par ticket.

Pour s'entraîner : exercices

29

et

30 p. 128

• Établir la loi de probabilité de \text{X}. Si les probabilités sont données sous forme fractionnaire, il vaut mieux les laisser toutes au même dénominateur afin de faciliter le calcul de \mathrm{E}(\mathrm{X}).


• Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}) en tant que moyenne des valeurs prises par \text{X}, pondérées par leurs probabilités.

1. Compléter la formule ci‑dessous, entrée dans une feuille de calcul, afin qu'elle simule le lancer d'une pièce truquée qui tombe sur « face » dans 47 % des cas. On affichera 1 pour « face ». « \color{purple}\bf{=SI(ALEA.ENTRE.BORNES(1 \:;100)\lt=... ; 1 ; 0)} »

2. On a recopié la formule précédente sur les 100 premières lignes de la colonne \bf{A}.
Que fait la formule suivante, entrée en \bf{A101} : « \color{purple}\bf{=SOMME( A1:A100 )/100} » ?

1. On complète la formule comme suit : \color{purple}\bf{=SI(ALEA.ENTRE.BORNES(1 \: ; 100) \lt = 47 \:; 1 \:; 0)}. En effet, la fonction \color{purple}\bf{ALEA.ENTRE.BORNES(1 \: ; 100)} génère un entier entre 1 et 100 de manière équiprobable. La probabilité que cet entier, choisi au hasard entre 1 et 100, soit inférieur ou égal à 47 est donc bien de 47 %.

2.  La somme des valeurs \bf{A1} à \bf{A100} est égale au nombre de 1 de la colonne. En divisant ce nombre par 100, on obtient la fréquence de 1 dans l'échantillon simulé.

Pour s'entraîner : exercices

54

et

55 p. 131