On observe que les événements « L'élève vient du collège \text{A}_1. » et « L'élève a choisi l'anglais LV1. » sont indépendants car la probabilité de \text{B} est la même que l'événement \text{A}_1 soit réalisé ou non.

Sur l'arbre de l'exemple précédent, on compte six chemins possibles : de \left(\mathrm{A}_{1}\:, \mathrm{B}\right) à \left(\mathrm{A}_{3}\:, \overline{\mathrm{B}}\right).

La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités situées sur les branches qui le composent.

Dans l'exemple ci‑dessus, la probabilité que l'élève choisi vienne du collège \text{A}_1 et qu'il suive l'enseignement d'anglais en LV1 est \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \cap \mathrm{B}\right)=\frac{3}{5} \times 0{,}7=0{,}42.

Pour qu'un enfant ait les yeux bleus, il faut que ses deux parents possèdent l'allèle (version d'un gène) correspondant. On note \text{B} l'événement « Avoir l'allèle des yeux bleus. ». On choisit au hasard et de manière indépendante deux personnes dans la population et on regarde si elles possèdent cet allèle. On suppose que 40 % de la population possède l'allèle des yeux bleus.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous.


2. Déterminer la probabilité que les deux parents aient l'allèle des yeux bleus.

1. D'après l'énoncé, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}4. On en déduit \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0{,}6.

2. La probabilité que les deux parents aient l'allèle des yeux bleus est la probabilité du chemin (\text{B} \: , \text{B}): 0{,}4 \times 0{,}4=0{,}16.

Pour s'entraîner : exercices

38

et

39 p. 129

On tire 20 cartes au hasard dans un jeu de 52 cartes, en les remettant systématiquement dans le paquet entre chaque tirage (cas du tirage avec remise).

On souhaite obtenir un trèfle.

Ainsi, on répète 20 fois de manière identique et indépendante l'expérience ayant deux issues :

• le succès : « On obtient un trèfle. », de probabilité p=0{,}25 ;
• l'échec : « On n'obtient pas un trèfle. », de probabilité 1-p=0{,}75.

Ainsi, l'expérience définit un schéma de Bernoulli de paramètres n = 20 et p = 0{,}25.

Une puce se déplace de manière aléatoire sur un axe. À chaque étape, elle avance ou recule d'une unité de distance. On admet qu'elle avance avec la probabilité p = 0{,}72 et qu'elle recule avec la probabilité 1-p=0{,}28, indépendamment des mouvements précédents.


On étudie sa position d'arrivée au bout de deux étapes, en notant 0 sa position de départ.

On note \text{A} l'événement « La puce avance. ».

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous représentant les différents mouvements de la puce.


2. Calculer la probabilité que la puce revienne à la position 0 au bout de deux étapes.

1. On est dans le cadre d'un schéma de Bernoulli


2. La puce revient à sa position initiale si elle avance puis recule ou si elle recule puis avance, ce qui correspond aux chemins (\mathrm{A} \: , \overline{\mathrm{A}}) et (\overline{\mathrm{A}} \:, \mathrm{A}).

Elle revient donc à sa position initiale avec la probabilité 0{,}72 \times 0{,}28+0{,}28 \times 0{,}72=0{,}403 \: 2.

Pour s'entraîner : exercices

66

et

67 p. 133