Calculer et interpréter l'espérance d'une variable aléatoire discrète.

On a mesuré les temps d'attente en caisse de 200 clients d'un supermarché pendant cinq jours. Les résultats, arrondis à la minute, sont récapitulés dans le tableau suivant.



1. Compléter la dernière ligne du tableau.

2. On interroge au hasard un des clients du premier jour. Quelle est la probabilité qu'il ait attendu 1 minute  ? Cette probabilité est‑elle la même pour un client venu le deuxième jour ?

3. On interroge un client au hasard parmi les clients des cinq jours d'étude. Quelle est la probabilité qu'il ait attendu 1 minute ? Quelle est la probabilité qu'il ait attendu 2 minutes ?

4. En utilisant les données des cinq jours d'étude, proposer une table de loi de probabilité du temps d'attente à la caisse.

Que représente l'espérance d'une variable aléatoire ?

Observer et interpréter la fluctuation des échantillons sur une loi de Bernoulli

1. Ouvrir une feuille de calcul. On admet qu'en utilisant la commande \color{purple}\bf{ALEA.ENTRE.BORNES(1 \:; 6)}, tous les nombres entiers compris entre 1 et 6 ont la même probabilité d'apparaître. Saisir en \bf{A1} la formule \color{purple}\bf{=ALEA.ENTRE.BORNES(1 ; 6)}, puis étirer la formule sur la ligne \bf{A} jusqu'en \bf{AX1}. Combien de lancers de dé sont ainsi simulés ?

3. Étirer la ligne 1 sur 200 lignes afin de répéter 200 fois cette expérience. Sélectionner la colonne \bf{AY} et afficher le nuage de points correspondant. Que peut‑on dire des fréquences des résultats supérieurs ou égaux à 5 ?

4. On cherche la proportion de fréquences comprises dans l'intervalle \left[p-\frac{1}{\sqrt{n}} \: ; p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right], où p désigne la probabilité théorique d'obtenir 5 ou 6 et n la taille de l'échantillon. Ici, quelle est la valeur de p ? Entrer en \bf{AY201} la formule \color{purple}\bf{=NB.SI.ENS(AY1:AY200 ; “>0,19” ; AY1:AY200 ; “\lt 0,47”)/200} et interpréter ce résultat.

5. Si on avait simulé des échantillons de taille 100, quel aurait été l'intervalle \left[p-\frac{1}{\sqrt{n}} \: ; p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right] ? Simuler l'expérience pour vérifier que la proportion de fréquences dans cet intervalle est supérieure ou égale à 95 %.

Sur de grands échantillons d'une même loi de Bernoulli, comment la fréquence du nombre de succès varie‑t‑elle ?

Représenter une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes par un arbre de probabilité.

2. Quelle est la probabilité que la personne choisie soit une femme ?

3. Si on choisit une femme, quelle est la probabilité que la personne choisie soit une professionnelle ?

Compléter l'arbre de probabilité suivant, qui décrit cette expérience aléatoire, en indiquant sur chaque branche la probabilité de l'événement indiqué à sa droite lorsque l'événement indiqué à gauche est réalisé.

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Représenter la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes par un arbre.

On considère une urne de Bernoulli contenant deux boules vertes et une boule rouge.
Dans une urne de Bernoulli, chacune des trois boules a autant de chances d'être choisie. La probabilité de tirer une boule rouge est donc égale à la proportion de boules rouges dans l'urne.
On note respectivement \text{R} et \text{V} les événements « Tirer une boule rouge. » et « Tirer une boule verte. ».

1. On tire successivement deux boules, sans remettre dans l'urne la première boule tirée.
a. Construire un arbre de dénombrement représentant tous les tirages possibles.

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b. Quelle est la probabilité de tirer deux boules vertes ?

2. On tire deux boules en remettant dans l'urne la boule tirée avant le second tirage. Construire un arbre de dénombrement représentant tous les tirages possibles. Quelle est la probabilité de tirer deux boules vertes ?

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3. Compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous, en indiquant :

• les événements \text{R} ou \text{V} au bout des branches ;
• les probabilités sur les branches vides.

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Compléter l'arbre précédent afin de répéter une troisième fois l'épreuve de Bernoulli. La probabilité de n'avoir que des boules vertes augmente‑t‑elle ou diminue‑t‑elle ?

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