Lorsqu'une parenthèse est précédée d'un signe +, on utilise la simple distributivité en distribuant le facteur +1.

Lorsqu'une parenthèse est précédée d'un signe -, on utilise la simple distributivité en distribuant le facteur (-1).

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Exemples

1. \begin{array}{l} \mathrm{A}=2 x+5+(3 x-7) \\ \mathrm{A}=2 x+5+3 x-7 \\ \mathrm{A}=5 x-2 \end{array}

2. \begin{array}{l} \mathrm{B}=5 x^{2}-\left(3 x^{2}+7 x-4\right)-10 \\ \mathrm{B}=5 x^{2}-3 x^{2}-7 x+4-10 \\ \mathrm{B}=2 x^{2}-7 x-6 \end{array}

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B
Double distributivité

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Propriété : double distributivité

Soient a, b, c et d des nombres quelconques.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Démonstration

{(a+b)(c+d)}={(a+b) \times c+(a+b) \times d}= {a \times c+b \times c+a \times d+b \times d}={a c+a d+b c+b d}

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Remarque

La double distributivité s'applique uniquement dans le cas d'un produit, c'est-à-dire lorsque l'on a deux parenthèses juxtaposées ou séparées par un signe \times.

Dans l'exemple suivant, on retrouve la propriété du paragraphe précédent et non la double distributivité.
(x+1)+(x+4)=x+1+x+4=2 x+5

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2
Identité remarquable

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Propriété : identité remarquable

Soient a et b deux nombres quelconques.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Démonstration

{(a+b)(a-b)}= {a \times a {\color{#C72C48}-a \times b+a \times b}-b \times b}={a^{2}-b^{2}}

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Méthodes

Déterminer l'opposé d'une expression littérale

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Énoncé

Développer et réduire l'expression {\mathrm{A}=-(-9 x+7)}.

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Méthode

On met en évidence le facteur que l'on distribue à chaque terme dans les parenthèses.
On applique la simple distributivité en faisant bien attention au signe de chaque terme.

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Solution

\begin{array}{l} \mathrm{A}=-(-9 x+7)=-1 \times (-9 x+7) \\ \mathrm{A}=-1 \times(-9 x)+(-1) \times 7 \\ \mathrm{A}=9 x-7 \end{array}

Pour s'entraîner

Exercices 22
,

p. 58.

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Développer en utilisant la double distributivité

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Énoncé

Développer et réduire l'expression {\mathrm{B}=(4 x-2)(-3 x+9)}.

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Méthode

On s'assure qu'il s'agit d'un cas où la double distributivité s'applique.
On utilise la formule en faisant bien attention au signe de chaque terme.
On réduit l'expression obtenue.

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Solution

\begin{array}{l} \mathrm{B}=(4 x-2)(-3 x+9) \\ \mathrm{B}=4 x \times(-3 x)+4 x \times 9+(-2) \times(-3 x)+(-2) \times 9 \\ \mathrm{B}=-12 x^{2}+36 x+6 x-18 \\ \mathrm{B}=-12 x^{2}+42 x-18 \end{array}

Pour s'entraîner

Exercices

p. 58,

p. 59

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Développer avec l'identité remarquable {({a}+{b})({a}-{b})={a}^{2}-{b}^{2}}

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Énoncé

Développer l'expression {\mathrm{C}=(3 x-2)(3 x+2)}.

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Méthode

On identifie les nombres a et b.
On applique la formule dans le sens du développement.

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Solution

Ici, a =3x et b=2. On a donc \mathrm{C}=(3 x)^{2}-2^{2}=9 x^{2}-4.

Pour s'entraîner

Exercices

33, 34

p. 59

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Factoriser avec l'identité remarquable {{a}^{2}-{b}^{2}=({a}+{b})({a}-{b})}

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Énoncé

Factoriser l'expression {\mathrm{D}=4 x^{2}-49}.

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Méthode

On identifie les nombres a et b.
On applique la formule dans le sens de la factorisation.

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Solution

Ici, a=2x et b=7. Donc \mathrm{D}=(2 x)^{2}-7^{2}=(2 x+7)(2 x-7).

Pour s'entraîner

Exercices

p. 59

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Calcul littéral

1 Distributivité

ASupprimer des parenthèses précédées d'un signe \bm + ou \bm -

Propriétés

Exemples

BDouble distributivité

Propriété : double distributivité

Démonstration

Remarque

2 Identité remarquable

Propriété : identité remarquable

Démonstration

Déterminer l'opposé d'une expression littérale

Méthode

Développer en utilisant la double distributivité

Méthode

Développer avec l'identité remarquable {({a}+{b})({a}-{b})={a}^{2}-{b}^{2}}

Méthode

Factoriser avec l'identité remarquable {{a}^{2}-{b}^{2}=({a}+{b})({a}-{b})}

Méthode

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1
Distributivité

A
Supprimer des parenthèses précédées d'un signe \bm + ou \bm -

B
Double distributivité

2
Identité remarquable