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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Applications
Probabilités
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1 Méthode
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Représenter par un arbre de probabilités pondéré une situation aléatoire donnée
Un arbre de probabilités pondéré permet de représenter une situation
constituée de plusieurs expériences aléatoires successives.
Un arbre de probabilités pondéré commence par une racine de laquelle partent plusieurs branches. À l'extrémité de chaque branche, on trouve un événement. Pour chaque événement, on construit un noœd duquel partent plusieurs branches. Plusieurs branches qui se suivent en partant de la racine sont appelées un chemin.
Un arbre de probabilités pondéré commence par une racine de laquelle partent plusieurs branches. À l'extrémité de chaque branche, on trouve un événement. Pour chaque événement, on construit un noœd duquel partent plusieurs branches. Plusieurs branches qui se suivent en partant de la racine sont appelées un chemin.
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Pour construire un arbre de probabilités pondéré il faut :
1. repérer les différentes expériences aléatoires successives ainsi que les événements étudiés ;
2. partir de la racine puis tracer les branches de la première expérience ;
3. construire les branches associées à chaque événement ainsi obtenu ;
4. répéter l'étape 3 autant de fois que nécessaire ;
5. placer sur chaque branche de l'arbre la probabilité de l'événement qu'elle représente en utilisant le fait que la somme des probabilités des branches partant d'un même noœd est toujours égale à 1.
1. repérer les différentes expériences aléatoires successives ainsi que les événements étudiés ;
2. partir de la racine puis tracer les branches de la première expérience ;
3. construire les branches associées à chaque événement ainsi obtenu ;
4. répéter l'étape 3 autant de fois que nécessaire ;
5. placer sur chaque branche de l'arbre la probabilité de l'événement qu'elle représente en utilisant le fait que la somme des probabilités des branches partant d'un même noœd est toujours égale à 1.
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Montrer que deux événements sont indépendants
Pour montrer que \text{A} et \text{B} sont indépendants, il faut montrer que \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
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Calculer une probabilité à l'aide de la formule des probabilités totales
La probabilité d'un événement correspond à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement.Exemple : Sur l'arbre de probabilités pondéré ci-dessus, on veut déterminer \mathrm{P}(\mathrm{H}). Il existe deux chemins menant à l᾽événement \text{H}.
On obtient \mathrm{P}(\mathrm{H})=\mathrm{P}\color{red}{(\mathrm{F} \cap \mathrm{H})}\color{black}+\mathrm{P}\color{blue}{(\mathrm{G} \cap \mathrm{H})}\color{black}=\color{red}0,4\color{black}+\color{blue}0,18\color{black}=0,58.
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Exploiter la lecture d'un arbre de probabilités pondéré
Un chemin d'un arbre de probabilités pondéré correspond à l'intersection des événements qui le compose.Pour déterminer la probabilité d'une intersection d'événements :
1. on repère sur l'arbre de probabilités le chemin passant par tous les événements ;
2. on multiplie les probabilités des branches empruntées.
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Remarque : Grâce à un arbre de probabilités pondéré, on peut également déterminer des probabilités conditionnelles. Dans l'exemple ci-dessus, \mathrm{P_{F}(A)=\color{green}\frac{1}{3}}.
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2 Mise en pratique
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QCM
Une ou plusieurs bonnes réponses possibles.
Pour les questions 1. à 3., utiliser l'arbre de probabilités pondéré suivant.
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1. Choisir la ou les bonne(s) réponse(s).
4. Si \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,5 ; \mathrm{P_{A}(B)=0,7} et \mathrm{P_{\bar{A}}(B)=0,1}
alors :
5. Si \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,5, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0,25 et \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0,125 alors :
6. On lance deux fois une pièce équilibrée. Soit \mathrm{P}_{1} l᾽événement « Obtenir pile au 1er lancer » et \mathrm{F}_{2} « Obtenir face au 2e lancer ». On a alors :
5. Si \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,5, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0,25 et \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0,125 alors :
6. On lance deux fois une pièce équilibrée. Soit \mathrm{P}_{1} l᾽événement « Obtenir pile au 1er lancer » et \mathrm{F}_{2} « Obtenir face au 2e lancer ». On a alors :
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Problème
Lors d'un festival, une association à but caritatif vend des sandwichs, des hot dogs et des churros sur deux stands différents : le stand A et le stand B. Pour éviter les contraintes logistiques trop importantes, l'association ne vendra plus de churros au prochain festival si les churros représentent moins de 10 % des ventes.
Lors de la dernière journée, 30 % des achats ont été faits au stand B.
Sur le stand B, un quart des ventes étaient des hot dogs et 60 % des sandwichs.
Sur le stand A, 5 % des ventes étaient des churros et 12 % des sandwichs.
On choisit au hasard un client de l'association. On note respectivement \text{A} et \text{B} les événements « L'achat est réalisé au stand A » et « L'achat est réalisé au stand B ». On note les événements \text{C} : « La personne achète un paquet de churros », \text{S} : « La personne achète un sandwich » et \text{H} : « La personne achète un hot dog ».
1. Déterminer les probabilités \mathrm{P}(\mathrm{A}) et \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{C}).
2. Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités pondéré.
3. Déterminer les probabilités \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{C}) et \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C}) puis en déduire la probabilité \mathrm{P}(\mathrm{C}).
4. Préciser alors si l'association continuera de vendre des churros.
Lors de la dernière journée, 30 % des achats ont été faits au stand B.
Sur le stand B, un quart des ventes étaient des hot dogs et 60 % des sandwichs.
Sur le stand A, 5 % des ventes étaient des churros et 12 % des sandwichs.
On choisit au hasard un client de l'association. On note respectivement \text{A} et \text{B} les événements « L'achat est réalisé au stand A » et « L'achat est réalisé au stand B ». On note les événements \text{C} : « La personne achète un paquet de churros », \text{S} : « La personne achète un sandwich » et \text{H} : « La personne achète un hot dog ».
1. Déterminer les probabilités \mathrm{P}(\mathrm{A}) et \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{C}).
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Réviser les notions de ce chapitre grâce à cette activité interactive.
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