Une étude a été réalisée sur l'ensemble de la production de vélos dans deux entreprises A et B. On sait que deux tiers des vélos proviennent de l'entreprise A. Parmi les vélos de l'entreprise A, 40 % sont des vélos électriques alors qu'il n'y a que 15 % de vélos électriques dans l'entreprise B. On choisit au hasard un vélo dans l'ensemble de la production. On note les événements \mathrm A : « Le vélo provient de l'entreprise A », \mathrm B : « Le vélo provient de l'entreprise B » et \mathrm E : « Le vélo est électrique ».

L'arbre de probabilités pondéré ci‑après résume cette étude.


1. Compléter l'arbre de probabilités pondéré à l'aide de l'énoncé.

2. Donner la probabilité que le vélo provienne de l'entreprise B.

3. Interpréter les événements \mathrm {\overline{E}}, \mathrm{A \cap E} et \mathrm{B \cap \overline{E}}.

4. Donner la probabilité que le vélo choisi soit électrique sachant qu'il vient de l'entreprise A.

5. Donner la probabilité que le vélo choisi ne soit pas électrique sachant qu'il vient de l'entreprise B.

En devoir, un professeur a donné à ses élèves l'arbre de probabilités pondéré suivant puis leur a demandé de compléter le tableau correspondant.


Les données du professeur sont en noir. Éloïse a écrit ses réponses en rouge. Indiquer les erreurs faites par Éloïse et corriger le tableau.

Modéliser chacune des situations aléatoires suivantes par un arbre de probabilités.

1. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée, on note les événements \mathrm P : « La pièce tombe sur pile » et \mathrm F : « La pièce tombe sur face ».

2. On lance trois fois de suite un dé à six faces non truqué, on note l'événement \mathrm A : « On obtient un 1 ».

L᾽arbre de probabilités pondéré ci-après a été réalisé par François puis validé par le professeur.


À la question « Déterminer la probabilité \mathrm{P(E)}» François propose la réponse suivante :

\mathrm{P(E)}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{71}{30}=2,37

1. Sans calcul, indiquer pourquoi on peut savoir que le résultat donné par François est faux.

2. Déterminer la probabilité \mathrm {P(E)}.

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on s'intéresse au nombre de pile et de face obtenus. On modélise cette situation par l'algorithme ci-après.

from random import *
def lancer():
	p = 0
	f = 0
	for k in range(2):
		if random() < 0.5:
			p = ...
		else:
			f = ...
	return(p, f)
print(lancer())

1. Compléter les lignes 7 et 9 de ce programme afin qu'il donne en sortie le nombre de fois où la pièce est tombée sur pile et le nombre de fois où elle est tombée sur face.

2. Au lieu de lancer cette pièce de monnaie deux fois de suite, on souhaite la lancer dix fois. Comment doit-on modifier le programme pour simuler cette situation ?

3. On souhaite désormais simuler dix lancers d'une pièce de monnaie truquée, ayant 70 % de chance de tomber sur pile. Comment doit-on modifier le programme pour simuler cette situation ?

L'adresse aux lancers francs de Kobe Bryant était impressionnante.

• Il marquait 90 % de ses premiers lancers.
• S'il marquait le premier lancer, il marquait le second 85 % du temps.
• S'il échouait au premier lancer, il réussissait six fois sur dix le lancer suivant.

On note \text{R}_1 et \text{R}_2 les événements « Réussir le premier lancer franc » et « Réussir le second lancer franc ».

1. Dresser l'arbre de probabilités pondéré qui représente cette situation.

L'équipe de Kobe Bryant perd d'un point. Il ne reste plus de temps au compteur mais une faute sur Kobe Bryant lui permet d'obtenir deux lancers francs à la fin du match. Au basket, un lancer franc réussi rapporte 1 point.

2. Déterminer la probabilité que l'équipe de Kobe Bryant gagne.

3. Déterminer la probabilité qu'il y ait une prolongation (égalité à la fin de la partie).

4. Déterminer la probabilité qu'il rate son second lancer franc.

5. Déterminer la probabilité qu'il ait réussi son premier lancer franc sachant qu'il a raté le second.

Dans une urne opaque, il y a quinze boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15. Cinq d'entre elles sont rouges. On en tire une au hasard et on considère les événements :

• \mathrm A : « La boule est rouge » ;
• \mathrm B : « Le chiffre est inférieur ou égal à cinq » ;
• \mathrm C : « Le chiffre est un multiple de cinq ».

1. Déterminer les probabilités \mathrm{P(A)}, \mathrm{P(B)} et \mathrm{P(C)}.

2. À quoi correspond l'événement \mathrm{A \cap B} ?

3. Peut-on calculer \mathrm{P(A \cap B)} ? Pourquoi ?

4. À quoi correspond l'événement \mathrm{B \cap C} ?

5. Calculer la probabilité \mathrm{P(B \cap C)}.

6. Les événements \mathrm B et \mathrm C sont-ils indépendants ?