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Mathématiques 3e - 2021

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Chapitre 11
Activités

Découvrir le chapitre : trigonométrie dans le triangle rectangle

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Activité 1
Le retour de la proportionnalité

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Objectif
Découvrir des relations de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.

Partie A : Papier et crayon


1
Tracer un triangle \text{ABC} rectangle en \text{B} tel que \widehat{\text{BAC}} = 30°.

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2
Quelle est l'hypoténuse de ce triangle ? Quel est le côté adjacent à l'angle \widehat{\text { BAC }} ? Quel est le côté opposé à cet angle ?
3
Mesurer la longueur des trois côtés de ce triangle puis calculer les quotients : \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}, \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} et \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}.
4
Comparer les valeurs des quotients obtenues par tous les élèves de la classe.


Partie B : Avec un logiciel de géométrie dynamique


Grâce à un logiciel de géométrie dynamique, on trace un triangle \text{ABC} rectangle en \text{B} tel que la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}} soit définie par un curseur que l'on fixe ici à 30° puis on place un point \text{M} appartenant à \text{[AB].} On trace ensuite la droite perpendiculaire à \text{[AB]} passant par \text{M.} On nomme enfin \text{N} le point d'intersection de cette droite avec le côté \text{[AC].}

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1
Quelle est la nature du triangle \text{AMN} ?
2
Dans le tableau ci-dessus, quelles formules doit‑on entrer dans les colonnes B et E pour afficher les longueurs et rapports indiqués ? Que constate‑t‑on ?
3
Déplacer le point \text{M} et observer ces valeurs. Que peut‑on conjecturer ? Quel théorème permet de démontrer cette conjecture ?
4
Grâce au curseur, changer la valeur de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}} en déplaçant le point \text{C.} Déplacer ensuite le point \text{M.} Cette conjecture est‑elle toujours vérifiée ?
Bilan
On appelle ces trois quotients les cosinus, sinus et tangente de l'angle \widehat{\mathbf{B A C}}.
Que peut‑on dire de ces trois rapports ?
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Activité 2
Décollage immédiat

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Objectif
Calculer une longueur grâce aux relations trigonométriques.

Nora regarde des avions décoller. L'angle entre le sol et la trajectoire rectiligne d'un avion au décollage est constant et mesure 40°. Nora se demande à quelle hauteur se trouvera l'avion lorsqu'il aura parcouru 1\:000 m dans les airs après son décollage.

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1
Faire un schéma de la situation.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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2
Identifier chacun des côtés du triangle rectangle par rapport à l'angle mesurant 40°.
3
Quelle relation trigonométrique permettrait de déterminer la longueur cherchée ?
Coup de pouce
CosinusSinusTangente
AdjacentOpposéOpposé
HypoténuseHypoténuseAdjacent
4
En utilisant un produit en croix et les informations données, déterminer cette longueur.
Bilan
Quelles sont les étapes permettant de calculer une longueur dans un triangle rectangle en s'aidant des relations trigonométriques ?
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Activité 3
La tour de Pise

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Objectif
Calculer une mesure d'angle grâce aux relations trigonométriques.

La tour de Pise, qui se trouve en Italie, est inclinée par rapport à la verticale. Son sommet, mesuré par rapport à la verticale, s'élève actuellement à 56{,}71 mètres du sol. Elle mesurait 56{,}82 mètres avant que ses fondations ne s'enfoncent dans le sol.
On souhaite déterminer l'angle d'inclinaison de la tour par rapport à la verticale.

Chapitre 11 - Trigonométrie dans le triangle rectangle
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1
Faire un schéma de la situation.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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2
Identifier chacun des côtés du triangle rectangle par rapport à l'angle dont on cherche la mesure.
3
Quelle relation trigonométrique permettrait de déterminer l'angle d'inclinaison ?
4
En utilisant les informations données, déterminer l'angle cherché à l'aide des fonctionnalités de la calculatrice.
Coup de pouce
Les touches Arcos, Arcsin et Arctan d'une calculatrice permettent de déterminer la mesure d'un angle.
Bilan
Quelles sont les étapes permettant de calculer une mesure d'angle aigu dans un triangle rectangle en s'aidant des relations trigonométriques ?
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