Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{C,} les rapports de longueurs \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AB}}, \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}} et \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}} ne dépendent que de la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}}. Ainsi, on appelle :

le cosinus d'un angle aigu le quotient égal à : \frac{\text { {\color{#2b9fab}longueur du côté adjacent a l'angle }}}{{\color{#79a857}\text { longueur de l'hypoténuse }}} ;

le sinus d'un angle aigu le quotient égal à : \frac{{\color{#C8264F}\text { longueur du coté opposé l'angle }}}{{\color{#79a857}\text { longueur de l'hypoténuse }}} ;

la tangente d'un angle aigu le quotient égal à : \frac{{\color{#C8264F}\text { longueur du coté opposé l'angle }}}{\text { {\color{#2b9fab}longueur du côté adjacent a l'angle }}}.

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Remarque

Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont des nombres sans unité.
Une astuce mnémotechnique pour retenir ces formules est \text{C{\color{#2b9fab}A}{\color{#79a857}H}} \text{S{\color{#C8264F}O}{\color{#79a857}H}} \text{T{\color{#C8264F}O}{\color{#2b9fab}A}.}

\cos (\text {angle})=\frac{{\color{#2b9fab}\text {côté Adjacent}}}{{\color{#79a857}\text {Hypoténuse}}} \: \sin (\text {angle})=\frac{{\color{#C8264F}\text {côté Opposé}}}{{\color{#79a857}\text {Hypoténuse}}} \: \tan (\text {angle})=\frac{{\color{#C8264F}\text {côté Opposé}}}{{\color{#2b9fab}\text {côté Adjacent}}}

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Propriété

Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des nombres toujours compris entre 0 et 1.

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Exemple

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Dans ce triangle \text{ABC} rectangle en \text{C}, on a :

\cos \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AB}} ;

\sin \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}} ;

\tan \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}}.

Attention : Si l'on considère l'angle \widehat{\mathrm{ABC}}, les rapports seront différents.

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Méthode

Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu

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Énoncé

On considère le triangle \text{AMC} rectangle en \text{A} ci‑dessous. Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente relatifs à l'angle \widehat{\text{AMC}} en fonction des longueurs des côtés du triangle.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Méthode

Pour le cosinus, on repère l'hypoténuse et le côté adjacent à l'angle.
Pour le sinus, on repère l'hypoténuse et le côté opposé à l'angle.
Pour la tangente, on repère le côté opposé et le côté adjacent à l'angle.

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Solution

On sait que le triangle \text{AMC} est rectangle en \text{A,} donc :

\text{[MC]} est l'hypoténuse ;

\text{[AM]} est le côté adjacent à l'angle \widehat{\mathrm{AMC}} ;

\text{[AC]} est le côté opposé à l'angle \widehat{\mathrm{AMC}}.

Par définition, on a :

\cos (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\text { longueur du côté adjacent }}{\text { longueur de l'hypoténuse }}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}} ;

\sin (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\text { longueur du côté opposé }}{\text { longueur de l'hypoténuse }}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MC}} ;

\tan (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\text { longueur du côté opposé }}{\text { longueur du côté adjacent }}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AM}}.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 218

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Calculer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu

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Énoncé

Dans le triangle \text{AMC} rectangle en \text{A,} on donne \text{AC = 3} cm, \text{AM = 4} cm et \text{MC = 5} cm. Calculer la valeur exacte du cosinus, du sinus et de la tangente de l'angle \widehat{\text{AMC}}.

Triangle ABC rectangle en A. AC = 3cm, CB = 5cm et CB = 4 cm.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Méthode

On écrit le rapport du cosinus, du sinus et de la tangente en utilisant les définitions du cours.
On remplace par les longueurs données dans l'énoncé.
On calcule.

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Solution

On sait que le triangle \text{AMC} est rectangle en \text{A} donc on a :

\cos (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}}=\frac{4}{5}=0{,}8 ;

\sin (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MC}}=\frac{3}{5}=0{,}6 ;

\tan (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AM}}=\frac{3}{4}=0{,}75.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 218

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2
Calculer des longueurs et des mesures d'angles aigus

A
Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

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Méthode

Dans un triangle rectangle, on peut calculer la longueur d'un des côtés de ce triangle si on connaît la longueur d'un des côtés ainsi que la mesure d'un des angles aigus.
On choisit le cosinus, le sinus ou la tangente de l'angle connu en fonction de la longueur cherchée et de la longueur donnée dans l'énoncé.

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Exemple

On considère le triangle \text{CDE} rectangle en \text{D} ci‑dessous.

Chapitre 11 - Trigonométrie dans le triangle rectangle

Le zoom est accessible dans la version Premium.

On souhaite calculer la longueur \text{DE} qui est celle du côté opposé à \widehat{\text{DCE}}.
On connaît la longueur \text{CD} qui est celle du côté adjacent à l'angle \widehat{\text{DCE}}.
On utilise donc la relation de la tangente.
Par définition, on a : \tan \widehat{\mathrm{DCE}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DC}} soit \tan 64°=\frac{\mathrm{DE}}{3{,}1} donc \mathrm{DE}=3{,}1 \times \tan 64° soit \mathrm{DE} \approx 6{,}4.

Coup de pouce

Si on connaît la longueur de deux des côtés, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du troisième côté.

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B
Calculer la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle

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Méthode

Dans un triangle rectangle, on peut calculer la mesure d'un des angles aigus de ce triangle si on connaît les longueurs de deux de ses côtés.
On choisit le cosinus, le sinus ou la tangente de l'angle cherché en fonction des deux longueurs données dans l'énoncé.

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Exemple

On considère le triangle \text{CDE} rectangle en \text{D} ci‑dessous.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

On souhaite déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{DCE}}.
On connaît les longueurs de l'hypoténuse et du côté opposé à l'angle \widehat{\text{DCE}}.
On utilise donc le sinus pour calculer la mesure de l'angle.
Par définition, on a : \sin \widehat{\mathrm{DCE}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{CE}}=\frac{4}{5}.
À l'aide de la calculatrice, on obtient alors que \widehat{\text{DCE}} \approx 53°.

Coup de pouce

Si on connaît la mesure de deux des angles, on peut, pour calculer la mesure du troisième, utiliser la propriété : la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.

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Remarque

Sur la calculatrice, on utilise les touches Arccos, Arcsin ou Arctan (ou \bm{\cos^{-1}}, \bm{\sin^{-1}} et \bm{\tan^{-1}}) pour déterminer la mesure d'un angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.

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Méthode

Calculer une longueur

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Énoncé

Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{A,} on donne \text{AC = 7} cm et \widehat{\text{ABC}} = 53°. Calculer la longueur \text{BC} (arrondie au mm).

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Méthode

On trace une figure à main levée afin de repérer l'hypoténuse et les différents côtés relatifs à l'angle connu.
On détermine alors la relation trigonométrique à utiliser.
On pense à bien paramétrer la calculatrice en mode degré.

Pour rappels :

		Je connais
		Hypoténuse	Côté opposé	Côté adjacent
Je veux	Hypoténuse		\sin	\cos
	Côté opposé	\sin		\tan
	Côté adjacent	\cos	\tan

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Solution

Triangle ABC rectangle en A. AC = 7cm et l'angle ABC = 53 degrés.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

On sait que \text{ABC} est rectangle en \text{A.} \text{[AC]} est le côté opposé à l'angle donné et on cherche la longueur de \text{[BC]} qui est l'hypoténuse.

On utilise donc le sinus :

\sin \widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}

\sin 53°=\frac{7}{\mathrm{BC}}

Donc \mathrm{BC}=\frac{7}{\sin 53°} \approx 8{,}8 cm.

Pour s'entraîner

Exercices 31
et

p. 218 et

p. 219

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Calculer la mesure d'un angle

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Énoncé

Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{A,} on donne \text{AB = 7} cm et \text{AC = 5} cm. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{ACB}} (arrondie au degré).

Ressource affichée de l'autre côté.
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Méthode

On trace une figure à main levée afin de repérer la nature de chacun des côtés connus par rapport à l'angle dont on cherche la mesure.
On détermine alors la relation trigonométrique à utiliser.
On pense à bien paramétrer la calculatrice en mode degré.

Ressource affichée de l'autre côté.
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Solution

Triangle ABC rectangle en A. AC = 5cm et AB = 7cm.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

On sait que \text{ABC} est rectangle en \text{A.} \text{[AB]} est le côté opposé à l'angle \widehat{\text{ACB}} et \text{[AC]} est son côté adjacent.

On utilise donc la tangente :

\tan \widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}

\tan \widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{7}{5}

À l'aide de la calculatrice, on trouve \widehat{\mathrm{ACB}} \approx 54°.

Pour s'entraîner

Exercices 41
,

p. 219

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Trigonométrie dans le triangle rectangle

1Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Vocabulaire

Définitions

Remarque

Propriété

Exemple

Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu

Méthode

Calculer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu

Méthode

2Calculer des longueurs et des mesures d'angles aigus

ACalculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

Méthode

Exemple

BCalculer la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle

Méthode

Exemple

Remarque

Calculer une longueur

Méthode

Calculer la mesure d'un angle

Méthode

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1
Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

2
Calculer des longueurs et des mesures d'angles aigus

A
Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

B
Calculer la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle