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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Cours 3
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
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A
Module et argument d'un nombre complexe
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On se place dans un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) qu'on appelle plan complexe.
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Définitions
Soit z=a+\mathrm{i} b un nombre complexe. On note \text{M} son point image dans le plan complexe.
À visualiser dans ce module GeoGebra :
- On appelle module de z, et on note |z| , la distance \text{OM}.
- Si z \neq 0, on appelle argument de z, et on note \text{arg}(z), toute mesure, en radian, de l'angle orienté (\vec{u} \:, \overrightarrow{\mathrm{OM}}).
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À visualiser dans ce module GeoGebra :
GeoGebra
Remarques
Un nombre complexe admet une infinité d'arguments qui diffèrent tous d'un multiple de 2\pi. Un argument est donc défini « modulo 2\pi ».
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Exemple
On a représenté ci‑dessous le nombre complexe de module 4 et d'argument \frac{\pi}{12}.
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Propriété
Pour tout nombre complexe z écrit sous forme algébrique {z=a+\mathrm{i} b}, on a {|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
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Démonstration
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Exemple
Soit z le nombre complexe z=4+3 \text{i}.
Alors, |z|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5.
Alors, |z|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5.
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Propriétés
Soient z et z^{\prime} deux nombres complexes. Alors :
1. |\bar{z}|=|-z|=|z|=|-\bar{z}| ;
2. \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right| ;
3. quel que soit n \in \mathbb{N}, \left|z^{n}\right|=|z|^{n} ;
4. si z \neq 0, \left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|} ;
5. si z^{\prime} \neq 0, \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}.
1. |\bar{z}|=|-z|=|z|=|-\bar{z}| ;
2. \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right| ;
3. quel que soit n \in \mathbb{N}, \left|z^{n}\right|=|z|^{n} ;
4. si z \neq 0, \left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|} ;
5. si z^{\prime} \neq 0, \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}.
Remarque
Le module est donc compatible avec la multiplication, la division et les puissances.
Remarque
Attention, \left|z+z^{\prime}\right| \neq|z|+\left|z^{\prime}\right| en général.
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Exemple
Si z=\frac{3+2 \text{i}}{8-6 \text{i}}, alors |z|=\frac{|3+2 \text{i}|}{|8-6 \text{i}|}=\frac{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}{\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{64+36}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{13}}{10}.
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Propriété
Si \text{A} et \text{B} sont deux points d'affixe respective z_\text{A} et z_\text{B}, alors
\mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|.
Remarque
Si \text{M}(z) et \text{O}(0), alors \text{OM}=|z-0|=|z|, ce qui correspond à la définition du module.
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Exemple
Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan complexe d'affixes z_{\mathrm{A}}=3+\mathrm{i} et z_{\mathrm{B}}=-1-2 \mathrm{i}.
Alors \mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=|-1-2 \mathrm{i}-(3+\mathrm{i})|=|-4-3 \mathrm{i}|.
D'où \mathrm{AB}=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25}=5.
Alors \mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=|-1-2 \mathrm{i}-(3+\mathrm{i})|=|-4-3 \mathrm{i}|.
D'où \mathrm{AB}=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25}=5.
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Propriété
Soit z un nombre complexe non nul et \theta=\arg (z).
Alors \cos (\theta)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} et \sin (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}.
Alors \cos (\theta)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} et \sin (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}.
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Exemple
Si z=1+\mathrm{i}, on a |z|=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{2}.
Donc \cos (\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} et \sin (\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
L'utilisation du cercle trigonométrique permet d'obtenir \theta=\frac{\pi}{4}, à un multiple de 2\pi près.
Donc \cos (\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} et \sin (\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
L'utilisation du cercle trigonométrique permet d'obtenir \theta=\frac{\pi}{4}, à un multiple de 2\pi près.
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Application et méthode - 5
Calculer le module et un argument d'un nombre complexe
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Énoncé
Calculer un argument de 1-\sqrt{3} \mathrm{i}.
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- On calcule d'abord le module.
- On calcule ensuite \cos (\theta) et \sin (\theta).
- On en déduit enfin \theta par lecture sur le cercle trigonométrique.
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Solution
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- |1-\sqrt{3} \text{i}|=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
- En notant \theta=\arg (z), on a \left\{\begin{array}{l} \cos (\theta)=\frac{1}{2} \\ \sin (\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right..
- On en déduit que \arg (z)=-\frac{\pi}{3} à un multiple de 2\pi près.
Pour s'entraîner : exercices et
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B
Forme trigonométrique
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Définition
Soient z un nombre complexe non nul et \theta un argument de z.
Alors on peut écrire z=|z|(\cos (\theta)+\text{i} \sin (\theta)).
Cette forme est appelée forme trigonométrique de z.
Alors on peut écrire z=|z|(\cos (\theta)+\text{i} \sin (\theta)).
Cette forme est appelée forme trigonométrique de z.
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Remarque
Un nombre complexe admet une infinité de formes trigonométriques puisqu'il admet une infinité d'arguments, qui diffèrent d'un multiple de 2\pi.
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Exemple
2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) est une forme trigonométrique de 1-\sqrt{3} \text{i}.
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Application et méthode - 6
Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe
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Énoncé
1. Écrire -2+2 \text{i} sous forme trigonométrique.
2. Déterminer la forme algébrique de 3\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right).
2. Déterminer la forme algébrique de 3\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right).
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- Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique, on calcule le module et un argument.
- Pour passer d'une forme trigonométrique à la forme algébrique, on calcule le cosinus et le sinus de l'argument donné, puis on développe et on réduit.
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Solution
1. On a |-2+2 \text{i}|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}.
En notant \theta un argument de -2+2 \text{i}, on a : \cos (\theta)=\frac{-2}{2 \sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2} et \sin (\theta)=\frac{2}{2 \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Donc \arg (z)=\frac{3 \pi}{4} à un multiple de 2\pi près.
Ainsi, z=2 \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right).
2. 3\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)=3\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}
Pour s'entraîner : exercices et
En notant \theta un argument de -2+2 \text{i}, on a : \cos (\theta)=\frac{-2}{2 \sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2} et \sin (\theta)=\frac{2}{2 \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Donc \arg (z)=\frac{3 \pi}{4} à un multiple de 2\pi près.
Ainsi, z=2 \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right).
2. 3\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)=3\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}
Pour s'entraîner : exercices et
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