Mathématiques 1re Techno

Retourner à l'accueil
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Mes Pages
Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Nombres complexes
Ouverturep. 212-213
Activités
Activitép. 214-215
1. Le plan complexe
Coursp. 216-217
2. Nombres complexes et conjugués
Coursp. 218-219
3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Coursp. 220-221
L'essentiel
L'essentielp. 222
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 223
Suite géométrique complexe
TP / TICEp. 224
Python
Exercicesp. 225
Applications directes
Exercicesp. 226-227
1. Le plan complexe
Exercicesp. 228-229
2. Nombres complexes conjugués
Exercicesp. 230
3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Exercicesp. 231-233
Synthèse
Exercicesp. 234-235
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Cours 3

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Module et argument d'un nombre complexe

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

On se place dans un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) qu'on appelle plan complexe.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Définitions
Soit z=a+\mathrm{i} b un nombre complexe. On note \text{M} son point image dans le plan complexe.
  • On appelle module de z, et on note |z| , la distance \text{OM}.
  • Si z \neq 0, on appelle argument de z, et on note \text{arg}(z), toute mesure, en radian, de l'angle orienté (\vec{u} \:, \overrightarrow{\mathrm{OM}}).

figure - définitions - cours 3.A.

À visualiser dans ce module GeoGebra :
Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

Remarques
Un nombre complexe admet une infinité d'arguments qui diffèrent tous d'un multiple de 2\pi. Un argument est donc défini « modulo 2\pi ».
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
On a représenté ci‑dessous le nombre complexe de module 4 et d'argument \frac{\pi}{12}.

figure - exemple 1 - cours 3.A.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Pour tout nombre complexe z écrit sous forme algébrique {z=a+\mathrm{i} b}, on a {|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
❯ Activité C p. 215
.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Soit z le nombre complexe z=4+3 \text{i}.
Alors, |z|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5.

figure - exemple 2 - cours 3.A.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
Soient z et z^{\prime} deux nombres complexes. Alors :

1. |\bar{z}|=|-z|=|z|=|-\bar{z}| ;

2. \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right| ;

3. quel que soit n \in \mathbb{N}, \left|z^{n}\right|=|z|^{n} ;

4. si z \neq 0, \left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|} ;

5. si z^{\prime} \neq 0, \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}.

Remarque
Le module est donc compatible avec la multiplication, la division et les puissances.

Remarque
Attention, \left|z+z^{\prime}\right| \neq|z|+\left|z^{\prime}\right| en général.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Si z=\frac{3+2 \text{i}}{8-6 \text{i}}, alors |z|=\frac{|3+2 \text{i}|}{|8-6 \text{i}|}=\frac{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}{\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{64+36}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{13}}{10}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Si \text{A} et \text{B} sont deux points d'affixe respective z_\text{A} et z_\text{B}, alors \mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|.

Remarque
Si \text{M}(z) et \text{O}(0), alors \text{OM}=|z-0|=|z|, ce qui correspond à la définition du module.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan complexe d'affixes z_{\mathrm{A}}=3+\mathrm{i} et z_{\mathrm{B}}=-1-2 \mathrm{i}.
Alors \mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=|-1-2 \mathrm{i}-(3+\mathrm{i})|=|-4-3 \mathrm{i}|.
D'où \mathrm{AB}=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25}=5.

figure - exemple 4 - cours 3.A.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Soit z un nombre complexe non nul et \theta=\arg (z).
Alors \cos (\theta)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} et \sin (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Si z=1+\mathrm{i}, on a |z|=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{2}.
Donc \cos (\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} et \sin (\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
L'utilisation du cercle trigonométrique permet d'obtenir \theta=\frac{\pi}{4}, à un multiple de 2\pi près.

figure - exemple 5 - cours 3.A.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 5

Calculer le module et un argument d'un nombre complexe

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Calculer un argument de 1-\sqrt{3} \mathrm{i}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • On calcule d'abord le module.
  • On calcule ensuite \cos (\theta) et \sin (\theta).
  • On en déduit enfin \theta par lecture sur le cercle trigonométrique.


Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
figure - solution - Calculer le module et un argument d'un nombre complexe

  • |1-\sqrt{3} \text{i}|=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
  • En notant \theta=\arg (z), on a \left\{\begin{array}{l} \cos (\theta)=\frac{1}{2} \\ \sin (\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right..
  • On en déduit que \arg (z)=-\frac{\pi}{3} à un multiple de 2\pi près.

Pour s'entraîner : exercices
47 p. 227
 et
98 p. 232
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Forme trigonométrique

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Soient z un nombre complexe non nul et \theta un argument de z.
Alors on peut écrire z=|z|(\cos (\theta)+\text{i} \sin (\theta)).
Cette forme est appelée forme trigonométrique de z.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Remarque
Un nombre complexe admet une infinité de formes trigonométriques puisqu'il admet une infinité d'arguments, qui diffèrent d'un multiple de 2\pi.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) est une forme trigonométrique de 1-\sqrt{3} \text{i}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 6

Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
1. Écrire -2+2 \text{i} sous forme trigonométrique.

2. Déterminer la forme algébrique de 3\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique, on calcule le module et un argument.
  • Pour passer d'une forme trigonométrique à la forme algébrique, on calcule le cosinus et le sinus de l'argument donné, puis on développe et on réduit.


Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. On a |-2+2 \text{i}|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}.
En notant \theta un argument de -2+2 \text{i}, on a : \cos (\theta)=\frac{-2}{2 \sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2} et \sin (\theta)=\frac{2}{2 \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Donc \arg (z)=\frac{3 \pi}{4} à un multiple de 2\pi près.
Ainsi, z=2 \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right).

2. 3\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)=3\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}

Pour s'entraîner : exercices
52
 et
53 p. 227

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.