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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Cours 2
Nombres complexes conjugués
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A
Définition et propriétés
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Définition
Soit z=a+\mathrm{i} b un nombre complexe écrit sous forme
algébrique. Le conjugué de \bm{z}, noté \bar{z}, est le nombre complexe défini par \bar{z}=a-\text{i} b.
Géométriquement, z et \bar{z} sont les affixes de deux points \text{M} et \text{M}^{\prime} symétriques par rapport à l'axe des réels.
À visualiser dans ce module GeoGebra :
Géométriquement, z et \bar{z} sont les affixes de deux points \text{M} et \text{M}^{\prime} symétriques par rapport à l'axe des réels.
À visualiser dans ce module GeoGebra :
GeoGebra
Remarque
z et \bar{z} ont même partie réelle mais des parties imaginaires opposées.
Remarque
\mathrm{M}(z) et \text{M}^{\prime}(-\bar{z}) sont symétriques par rapport à l'axe des imaginaires purs. Leurs affixes ont des parties réelles opposées.
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Exemple
Si z=3-7 \text{i}, alors \bar{z}=\overline{3-7 i}=3+7 \text{i}.
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Propriétés
Soit z un nombre complexe. Alors :
1. \bar{\bar{z}}=z ;
2. z est réel \Leftrightarrow \bar{z}=z ;
3. z est imaginaire pur \Leftrightarrow \bar{z}=-z ;
4. z \bar{z}=\operatorname{Re}^{2}(z)+\operatorname{Im}^{2}(z).
En particulier, si z=a+\mathrm{i} b, alors z \bar{z}=a^{2}+b^{2}.
1. \bar{\bar{z}}=z ;
2. z est réel \Leftrightarrow \bar{z}=z ;
3. z est imaginaire pur \Leftrightarrow \bar{z}=-z ;
4. z \bar{z}=\operatorname{Re}^{2}(z)+\operatorname{Im}^{2}(z).
En particulier, si z=a+\mathrm{i} b, alors z \bar{z}=a^{2}+b^{2}.
Remarque
Quel que soit z \in \mathbb{C}, z\bar{z} est
donc une somme de deux carrés. \bar{z} est donc un nombre réel positif.
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Démonstration
On démontre la propriété 4. du cadre ci‑contre.
Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique s'écrit z = a + \text{i}b.
Alors \bar{z} = a - \text{i}b et donc z \bar{z}=(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)=a^{2}-\mathrm{i} a b+\mathrm{i} a b-\mathrm{i}^{2} b^{2}=a^{2}+b^{2}.
Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique s'écrit z = a + \text{i}b.
Alors \bar{z} = a - \text{i}b et donc z \bar{z}=(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)=a^{2}-\mathrm{i} a b+\mathrm{i} a b-\mathrm{i}^{2} b^{2}=a^{2}+b^{2}.
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Exemple
(3+4 \text{i})(3-4 \text{i})=3^{2}+4^{2}=25
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Application et méthode - 3
Déterminer la forme algébrique d'un quotient
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Énoncé
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
1. \frac{1}{4+3 \text{i}}
2. \frac{4+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}
1. \frac{1}{4+3 \text{i}}
2. \frac{4+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}
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Pour trouver la forme algébrique d'un nombre complexe sous forme fractionnaire :
- on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur ;
- on développe le numérateur et le dénominateur ;
- on réduit et on simplifie si possible.
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Solution
1. \frac{1}{4+3 \text{i}}=\frac{4-3 \text{i}}{(4+3 \text{i})(4-3 \text{i})}=\frac{4-3 \text{i}}{4^{2}+3^{2}}=\frac{4-3 \text{i}}{25}=\frac{4}{25}-\frac{3}{25} \text{i}
2. \frac{4+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(4+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{4+4 \mathrm{i}+\mathrm{i}-1}{2}=\frac{3+5 \mathrm{i}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{5}{2} \mathrm{i}
Pour s'entraîner : exercices et
2. \frac{4+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(4+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{4+4 \mathrm{i}+\mathrm{i}-1}{2}=\frac{3+5 \mathrm{i}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{5}{2} \mathrm{i}
Pour s'entraîner : exercices et
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B
Conjugué et opérations
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Propriétés
Soient z et z^{\prime} deux nombres complexes.
1. \overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}} et \overline{z-z^{\prime}}=\bar{z}-\overline{z^{\prime}}.
2. \overline{z \times z^{\prime}}=\bar{z} \times \overline{z^{\prime}}.
3. Si z \neq 0, \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\bar{z}}.
4. Si z^{\prime} \neq 0, \overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\bar{z}}{\overline{z^{\prime}}}.
5. Quel que soit n \in \mathbb{N}, \overline{z^{n}}=\bar{z}^{n}.
1. \overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}} et \overline{z-z^{\prime}}=\bar{z}-\overline{z^{\prime}}.
2. \overline{z \times z^{\prime}}=\bar{z} \times \overline{z^{\prime}}.
3. Si z \neq 0, \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\bar{z}}.
4. Si z^{\prime} \neq 0, \overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\bar{z}}{\overline{z^{\prime}}}.
5. Quel que soit n \in \mathbb{N}, \overline{z^{n}}=\bar{z}^{n}.
Remarques
- La conjugaison est donc compatible avec l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et les puissances.
- On utilise la convention 0^0 = 1 pour 5.
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Application et méthode - 4
Calculer le conjugué
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Énoncé
Déterminer la forme algébrique de \bar{z} dans chacun des cas suivants.
1. z=(2-\mathrm{i})(3+\mathrm{i})
2. z=\frac{2-\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}
1. z=(2-\mathrm{i})(3+\mathrm{i})
2. z=\frac{2-\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}
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On commence par transformer toutes les parties imaginaires en leur opposé, puis on utilise les règles de calcul usuelles.
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Solution
1. \bar{z}=\overline{(2-\text{i})(3+\text{i})}=(2+\text{i})(3-\text{i})=6-2 \text{i}+3 \text{i}-\text{i}^{2}=7+\text{i}
2. \bar{z}=\frac{2+\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}=\frac{(2+\mathrm{i})(3+\mathrm{i})}{3^{2}+1^{2}}=\frac{6+2 \mathrm{i}+3 \mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}}{10}=\frac{5+5 \mathrm{i}}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}
Pour s'entraîner : exercices et
2. \bar{z}=\frac{2+\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}=\frac{(2+\mathrm{i})(3+\mathrm{i})}{3^{2}+1^{2}}=\frac{6+2 \mathrm{i}+3 \mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}}{10}=\frac{5+5 \mathrm{i}}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}
Pour s'entraîner : exercices et
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