On utilise les propriétés algébriques déjà connues sur l'ensemble des réels : on développe, on réduit, on utilise les identités remarquables, etc. On utilise ensuite que \text{i}^{2}=-1.

Lorsque le nombre complexe est écrit sous forme de fraction, on la multiplie au numérateur et au dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Auto-évaluation
n° 8 et 9

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2
Représenter un nombre complexe par un point dans un repère orthonormé direct \bm{(\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v})}

Lorsque le nombre complexe est écrit sous forme algébrique a+\mathrm{i} b, alors il est représenté par le point \mathrm{M}(a \: ; b).

Lorsque le nombre complexe est écrit sous forme trigonométrique r(\cos (\theta)+\text{i} \sin (\theta)), alors le module r correspond à la distance entre le point image et l'origine du repère, et \theta correspond à une mesure de l'angle (\vec{u} \: , \overrightarrow{\mathrm{OM}}).

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➜ Auto‑évaluation n° 13

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3
Calculer et utiliser le module d'un nombre complexe

Lorsque le nombre complexe est écrit sous forme algébrique z=a+\mathrm{i} b, alors |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Le module est compatible avec le produit, le quotient et la puissance : \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right| ; \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} et, si n est un entier naturel, \left|z^{n}\right|=|z|^{n}.

Si \text{A} et \text{B} sont deux points d'affixe respective z_{\mathrm{A}} et z_{\mathrm{B}}, alors \mathrm{AB}=\mid z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}} \mid.

Auto-évaluation
n° 14

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4
Déterminer une forme trigonométrique à partir de la forme algébrique \bm{z=a +\mathbf{i} b}

On calcule \mid z \mid.

On calcule \cos(\theta) et \sin(\theta) à partir des formules
\cos (\theta)=\frac{a}{|z|} et \sin (\theta)=\frac{b}{|z|}.

On trouve une valeur possible de \theta à partir du cercle trigonométrique.

Auto-évaluation
n° 11

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Carte mentale

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Nombres complexes

Fiche méthode

1Déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe

2Représenter un nombre complexe par un point dans un repère orthonormé direct \bm{(\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v})}

3Calculer et utiliser le module d'un nombre complexe

4Déterminer une forme trigonométrique à partir de la forme algébrique \bm{z=a +\mathbf{i} b}

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1
Déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe

2
Représenter un nombre complexe par un point dans un repère orthonormé direct \bm{(\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v})}

3
Calculer et utiliser le module d'un nombre complexe

4
Déterminer une forme trigonométrique à partir de la forme algébrique \bm{z=a +\mathbf{i} b}