Partie 1 : Construction d'une suite
On note c(n) le nombre de carrés nécessaires pour construire la figure à l'étape n. La figure initiale correspond à l'étape 0. Le premier terme est donc c(0)=1 et on a, par exemple, c(2)=7.

1

En utilisant l'illustration ci-dessus, déterminer c(1) et c(3).

2

Combien de carrés ajoute-t-on pour passer d'une étape à la suivante ? Calculer alors c(4) puis c(5).

En continuant ainsi, on obtient une suite de nombres, notée c. Dans ce cas, on dit que la suite c est une suite arithmétique de premier terme c(0) = 1 et de raison r = 3.

3

Pour tout entier naturel n, écrire c(n + 1) en fonction de c(n). Cette relation s'appelle la relation de récurrence de la suite c.

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Comment calculer c(100) en fonction de c(99) ? Est-ce facilement réalisable ?

Partie 2 : Une nouvelle suite
On s'intéresse maintenant au périmètre de la figure à chaque étape.
On note p(n) le périmètre de la figure à l'étape n. On a ainsi p(0) = 4 et p(1) = 10.

5

En utilisant l'illustration ci-dessus, déterminer p(2) et p(3).

6

Justifier que la suite p est une suite arithmétique. Donner alors le premier terme, la raison et la relation de récurrence de p(n+ 1) en fonction de p(n).

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a. De quelle longueur le périmètre a-t-il augmenté entre l'étape initiale et l'étape 2 ? Entre l'étape initiale et l'étape 3 ?

b. Compléter les égalités suivantes :
{p(2)=p(0)+}

{\times 6 ; p(3)=p(0)+}

\times 6.

c. Compléter la forme explicite de p : pour tout entier naturel {n, p(n)=p(0)+}

\times

.

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Calculer le périmètre de la figure à l'étape 100.