Terme général d'une suite arithmétique

On considère une suite u.

• Pour tout entier naturel n, le terme u(n) d'une suite u est noté un et on note \left(u_{n}\right) la suite u.


• Une suite arithmétique u de raison r vérifie pour tout entier naturel n : {u_{n+1}=u_{n}+r}.

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_{0}.

1. Pour tout entier {n \in \mathbb{N}}, {u_{n}=n \times r+u_{0}}.

2. Pour tous entiers naturels n et p, {u_{n}=(n-p) \times r+u_{p}}.

Soit {\left(u_{n}\right)} la suite arithmétique de raison r = -2 telle que u_{5}=7.
Pour tout entier naturel n, {u_{n}=(n-5) \times r+u_{5}}, soit

u_{n}=-2(n-5)+7=-2 n+17.

On en déduit que {u_{0}=-2 \times 0+17=17}.

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Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique définie sur \mathrm{N} par {u_{n}=5 n-4}.

Exprimer u_{n+1} en fonction de n.

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Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique définie sur \mathrm{N} par {u_{n}=1-n \sqrt{2}}.

Calculer {u_{n+1}-u_{n}}.

64

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique vérifiant, pour tout entier naturel n, {u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{2}}.

Exprimer u_{n+3} en fonction de u_{n}.

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Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique de raison r=\frac{3}{5} telle que u_{4}=-\frac{2}{5}.

Calculer les termes de rang 9 et de rang 2 de cette suite.

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Pour chacune des suites suivantes, calculer \mathrm{u}_{20}.

1. La suite \left(u_{n}\right) est artimétique de raison r=3 et telle que u_{7}=12.

2. La suite \left(u_{n}\right) est artimétique de raison r=5 et telle que u_{25}=17.

3. La suite \left(u_{n}\right) est définie par {\left\{\begin{array}{c} u_{0}=3 \\ u_{n+1}=u_{n}+7 \end{array}\right.} pour {n \in \mathbb{N}}

4. La suite \left(u_{n}\right) est définie par {\left\{\begin{array}{c} u_{1}=-2 \\ u_{n+1}=u_{n}-4 \end{array}\right.} pour {n \in \mathbb{N}}.

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Kalyam place une somme d'argent u_{0} au taux simple annuel de 5 % ; c'est-à-dire que chaque année, la somme placée augmentera de 5 % de la somme initiale. Pour tout entier naturel n, un désigne le capital de Kalyam n années après son placement.

1. Déterminer u_{1} et u_{2} en fonction de u_{0}.

2. Exprimer u_{n+1} en fonction de u_{n} et de u_{0}.

3. En justifiant, déterminer une expression de u_{n} en fonction de n et de u_{0}.

4. Cinq ans après avoir placé son argent, Kalyam possède 1\:250 €. Quelle somme d'argent avait-il placé au départ ?

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Dans le jardin de Yoann, se trouve un puits de 15,7 m de profondeur. Toutes les heures, il creuse 1,2 m. On note u_n la profondeur du puits au bout de \mathrm{n} heures.


1. Justifier que \left(u_{n}\right) est une suite arithmérique dont on précisera la raison et le premier terme u_{0}.

2. Résoudre u_{n} \geqslant 30. Interpréter ce résultat.

3. Compléter le programme Python ci-dessous afin de retrouver le résultat obtenu à la question 2.

def seuil() :
u = 15.7
n = 0
while ... :
u = ...
n = ...
return(n)

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On donne ci-dessous un programme rédigé à l'aide de Python.


1. Ce programme est associé à une suite arithmétique \left(u_{n}\right). Préciser la raison r et le premier terme u_{0} de cette suite.

2. a. Quel est l'objectif de ce programme ?

b. Exprimer u_{n} en fonction de n.

c. En déduire la valeur affichée en sortie du programme.

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Rayane loue un appartement à Bordeaux. Son contrat de location débute le 1^er juin 2022 avec un loyer de 503 € qui augmente ensuite de 32 € tous les ans. On note u_{n} le loyer de l'appartement de Rayane, en euro, au bout de \mathrm{n} années après le 1^er juin 2022. On a donc u_{0}=503.

1. On admet que \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique. Donner la raison r de cette suite.

2. Quel loyer Rayane devra-t-il payer au 1^er juin 2029 ?

3. Afin d'y voir plus clair dans ses dépenses, Rayane réalise la feuille de calcul ci-dessous.


a. Quelle formule Rayane a-t-il entrée dans la cellule B3 puis étirée vers le bas pour remplir automatiquement la colonne B ?

b. Sachant que {6\:036=503 \times 12}, à quoi correspond la valeur calculée dans la cellule C2 ?

c. À quoi correspond la valeur dans la cellule C3 ? Comment a-t-elle été calculée ?

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On souhaite démontrer la propriété suivante : « Si \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p, {u_{n}=(n-p) r+u_{p}} ».

1. Rappeler l'expression de u_{n} en fonction de u_{0}, de n et de r.

2. Exprimer de même u_{p} en fonction de u_{0}, de p et de r.

3. En déduire une expression de u_{0} en fonction de u_{p}, de p et de r.

4. Conclure.