Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 3
Cours
Croissance linéaire
10 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1Suites arithmétiques
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Une suite u est une fonction dont la variable, notée n plutôt que x, est un entier naturel.
Le nombre u(n) est appelé le terme de rang \boldsymbol{n} de la suite u.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Une suite u est arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r, nommé raison, tel que pour tout entier
naturel {n: u(n+1)=u(n)+r.} L'écriture du terme de rang n + 1 en fonction du terme de rang n donne une
relation de récurrence vérifiée par la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Une suite u vérifiant, pour tout entier naturel n, {u(n+1)=u(n)+4} est une suite arithmétique. Si on a {u(0)=5}, alors le deuxième terme est {u(1)=u(0)+4=5+4=9.} Le troisième terme est {u(2)=u(1)+4=9+4=13.}
Attention, le premier terme de la suite étant u(0), le dixième terme est u(9).
Attention, le premier terme de la suite étant u(0), le dixième terme est u(9).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Une suite u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u(0) si, et seulement si, pour tout entier naturel n, {u(n)=r \times n+u(0)}. Cette écriture est la forme explicite de la suite u.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Dans un repère, une suite peut être représentée par le nuage de points de coordonnées (n ; u(n)), n \in \mathbb{N}.
Dans le cas d'une suite arithmétique, ce nuage de points forme un ensemble de points alignés.
Dans le cas d'une suite arithmétique, ce nuage de points forme un ensemble de points alignés.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Soit u une suite arithmétique de premier terme u(0)=2
et de raison 3. Elle est donc définie par la relation de récurrence {u(n+1)=u(n)+3.}
Sa forme explicite est donnée, pour tout entier naturel n, par {u({\color{#00614e}n})=3 {\color{#00614e}n}+2}. Ainsi, {u({\color{#00614e}1})=3 \times {\color{#00614e}1}+2=5}, {u({\color{#00614e}2})=3 \times {\color{#00614e}2}+2=8} et {u({\color{#00614e}3})=3 \times {\color{#00614e}3}+2=11}.
Les quatre premiers termes de cette suite sont représentés dans le graphique ci-après.
Sa forme explicite est donnée, pour tout entier naturel n, par {u({\color{#00614e}n})=3 {\color{#00614e}n}+2}. Ainsi, {u({\color{#00614e}1})=3 \times {\color{#00614e}1}+2=5}, {u({\color{#00614e}2})=3 \times {\color{#00614e}2}+2=8} et {u({\color{#00614e}3})=3 \times {\color{#00614e}3}+2=11}.
Les quatre premiers termes de cette suite sont représentés dans le graphique ci-après.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Une suite arithmétique permet de modéliser un phénomène discret à croissance linéaire.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
1. Une suite arithmétique u de raison r
est strictement croissante si, et seulement si, r\gt0.
2. Une suite arithmétique u de raison r est strictement décroissante si, et seulement si, r \lt 0.
3. Une suite arithmétique u de raison r est constante si, et seulement si, r=0.
2. Une suite arithmétique u de raison r est strictement décroissante si, et seulement si, r \lt 0.
3. Une suite arithmétique u de raison r est constante si, et seulement si, r=0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
2
Fonctions affines
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Une fonction f est dite affine lorsqu'il existe deux réels m et p tels que, pour tout x \in \mathbb{R}, {f(x)=m x+p.}
La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère du plan est une droite dont m est le coefficient directeur et p est l'ordonnée à l'origine. On a p=f(0).
La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère du plan est une droite dont m est le coefficient directeur et p est l'ordonnée à l'origine. On a p=f(0).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Une fonction affine permet de modéliser un phénomène continu à croissance linéaire.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
Soit f : x \mapsto m x+p une fonction affine dont on note d la droite représentative.
1. Pour tous réels distincts a et b, on a {m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}.
2. Pour tous points distincts \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}}\right) appartenant à d, on a m=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.
1. Pour tous réels distincts a et b, on a {m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}.
2. Pour tous points distincts \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}}\right) appartenant à d, on a m=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
1. Une fonction affine f est strictement croissante sur \mathbb{R} si, et seulement si, m\gt0.
2. Une fonction affine f est strictement décroissante sur \mathbb{R} si, et seulement si, m \lt 0.
3. Une fonction affine f est constante sur \mathbb{R} si, et seulement si, m=0.
2. Une fonction affine f est strictement décroissante sur \mathbb{R} si, et seulement si, m \lt 0.
3. Une fonction affine f est constante sur \mathbb{R} si, et seulement si, m=0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
3
Phénomènes linéaires discrets et continus
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Voici un tableau récapitulatif des caractéristiques des phénomènes linéaires discrets et continus.
Modèle | Discret | Continu |
|---|---|---|
Modélisation | Suite arithmétique u définie sur \mathbb{N}. | Fonction affine f définie sur \mathbb{R}. |
Expression | {u(n)=rn+u(0)} avec n \in \mathbb{N}. | {f(x)=mx+p=mx+f(0)} avec x \in \mathbb{R}. |
Représentation graphique | Nuage de points alignés
 Le zoom est accessible dans la version Premium. | Droite
 Le zoom est accessible dans la version Premium. |
Caractérisation | Pour tout n \in \mathbb{N}, u(n+1)-u(n) est constant. | Pour tous réels a et b distincts, \frac{f(b)-f(a)}{b-a} est constant. |
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah