L'idée que l'on peut se faire d'un nombre entier naturel semble assez évidente, à tel point que l'Homme les a depuis toujours utilisés sans se poser de question sur leur existence. Cependant, à la fin du XIX^e siècle, les mathématiciens ont senti le besoin de prouver et redéfinir l'existence de tous les objets mathématiques. C'est ainsi que Richard Dedekind (1831-1916) et Giuseppe Peano (1858-1932) ont proposé de façon indépendante une construction des entiers naturels dont voici les axiomes :

1. l'élément appelé zéro, et noté 0, est un entier naturel ;
2. tout entier naturel n a un unique successeur, que l'on peut noter s(n) ;
3. aucun entier naturel n'a 0 pour successeur ;
4. deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux ;
5. si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à \mathbb{N}.

Les travaux de Peano ont aussi permis de prouver la validité du raisonnement par récurrence. Peano a également proposé la notation \mathbb{N} et les symboles \cap, \cup, \in, etc. que l'on utilise encore de nos jours.