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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 4
Cours
Croissance exponentielle
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1Suites géométriques
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ADéfinition
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Définition
Une suite u est géométrique lorsqu'il existe un nombre réel q, nommé raison, tel que pour tout entier naturel n : u(n+1)=q \times u(n).
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Dans ce chapitre, on se limite au cas où u(0)>0 et q>0.
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Exemple
La suite u définie par u(0)=8 et, pour tout entier naturel n, u(n+1)=0,5 \times u(n) est une suite géométrique de premier terme 8 et de raison q=0,5.
On a u(0)=8, u(1)=0,5 \times u(0)=4, u(2)=0,5 \times u(1)=2, etc.
On a u(0)=8, u(1)=0,5 \times u(0)=4, u(2)=0,5 \times u(1)=2, etc.
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Propriétés
Si u est une suite géométrique de raison q et de premier terme u(0), alors pour tout entier naturel n : u(n)=u(0) \times q^{n}.
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Exemple
Soit u la suite géométrique définie par u(0)=10 et vérifiant, pour tout entier naturel n, u(n+1)=8 \times u(n). On en déduit que, pour tout entier naturel n, u(n)=10 \times 8^{n}.
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BSens de variation d'une suite géométrique
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Propriétés
Une suite géométrique u de premier terme u(0)>0 et de raison q>0 est :
- strictement croissante si, et seulement si, q>1 ;
- strictement décroissante si, et seulement si, 0 < q < 1 ;
- constante si, et seulement si, q=1.
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Exemple
-
En rouge : Nuage de points associé à la suite géométrique u de premier terme u(0)=3 et de raison q=0,5.
On a 0 < 0,5 < 1 donc la suite u est décroissante.
Cela se vérifie avec les premiers termes : u(0)=3, u(1)=1,5, u(2)=0,75, etc.
-
En vert : Nuage de points associé à la suite géométrique v de premier terme v(0)=0,1 et de raison q=2.
Ici, on a 2>1 donc la suite v est croissante.
Cela se vérifie avec les premiers termes : v(0)=0,1, v(1)=0,2, v(2)=0,4, etc.
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2
Fonctions exponentielles
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ADéfinition et variations
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Définition
Soit \mathrm{a} un réel strictement positif. Une fonction \mathrm{f} définie pour tout réel x \in[0 ;+\infty[ par f(x)=a^{x} est une fonction exponentielle.
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Propriétés
Une fonction exponentielle f définie sur [\;0\; ;+\infty[ par f(x)=a^{x} avec a>0 est :
1. strictement croissante sur [0 ;+\infty[ si, et seulement si, a>1 ;
2. strictement décroissante sur [0 ;+\infty[ si, et seulement si, 0 < a < 1 ;
3. constante sur [0 ;+\infty[ si, et seulement si, a = 1.
1. strictement croissante sur [0 ;+\infty[ si, et seulement si, a>1 ;
2. strictement décroissante sur [0 ;+\infty[ si, et seulement si, 0 < a < 1 ;
3. constante sur [0 ;+\infty[ si, et seulement si, a = 1.
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BPropriétés algébriques
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Propriétés
Pour tous réels positifs x et y et pour tours réels strictement positifs a et b on a :
1.a^{x} \times a^{y}=a^{x+y}
2.\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y} (avec x \geqslant y)
3.\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x \times y}
4.a^{x} \times b^{x}=(a \times b)^{x}
5.\frac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{x}
1.a^{x} \times a^{y}=a^{x+y}
2.\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y} (avec x \geqslant y)
3.\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x \times y}
4.a^{x} \times b^{x}=(a \times b)^{x}
5.\frac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{x}
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Propriétés
Cas particulier de la puissance \boldsymbol{\frac{1}{n}}
Soit a et x deux nombres réels strictement positifs et n un nombre entier non nul. L'équation x^{n}=a admet comme unique solution positive le réel x=\sqrt[n]{a}=a ^ {\normalsize{\tfrac{1}{n}}} appelé racine \boldsymbol{n} -ième de a.
Soit a et x deux nombres réels strictement positifs et n un nombre entier non nul. L'équation x^{n}=a admet comme unique solution positive le réel x=\sqrt[n]{a}=a ^ {\normalsize{\tfrac{1}{n}}} appelé racine \boldsymbol{n} -ième de a.
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Propriétés
Si une grandeur subit une évolution de taux t, alors elle atteint la même valeur en subissant n évolutions successives de même taux (1+t)^{\normalsize{\tfrac{1}{n}}} où n est un entier naturel non nul.
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Définition
Le nombre (1+t)^{\normalsize{\tfrac{1}{n}}}-1 est appelé taux moyen des n évolutions successives de taux global t.
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Exemple
D'après l'association 60 Millions de consommateurs, le prix des pâtes a augmenté d'environ 11,4 % entre février 2021 et février 2022.
t_{\text {moyen }}=\left(1+\frac{11,4}{100}\right)^{\normalsize{\tfrac{1}{12}}}-1 \approx 0,00904 \approx 0,904 \%.
En moyenne, entre février 2021 et février 2022, le prix des pâtes a augmenté de 0,904 % par mois.
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