Soit u une suite géométrique de raison q \neq 0 dont aucun terme n'est nul. Pour tous entiers naturels p et n, on a u(n)=u(p) \times q^{n-p} ou, en notation indicielle, u_{n}=u_{p} \times q^{n-p}.

Voir

exercice 56

.

Il existe un nombre irrationnel remarquable noté e dont une valeur approchée à 10^{-9} près est 2,718\:281\:828. La fonction exponentielle de base e est la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=\mathrm{e}^{x}. On note aussi f(x)=\exp (x).

52

Un banquier propose à son client Monsieur Leonhard le choix entre deux placements :

• P_{1} : +100 % sur un an permettant donc de doubler son capital en un an ;
• P_{2} : +50 % sur les six premiers mois, puis +50 % sur les six derniers.

1. Quel placement est le plus avantageux pour M. Leonhard ?

2. M. Leonhard suggère alors quatre évolutions de +25 %. Par combien son capital sera-t-il alors multiplié ?

3. Plus généralement, par quel nombre sera multiplié le capital de M. Leonhard après n hausses de taux \frac{1}{n} ?

4. Avec une calculatrice ou un tableur, calculer ces différents coefficients multiplicateurs pour des valeurs de n de plus en plus grandes.

5. On peut montrer que ces nombres croissent pour devenir aussi proches que l'on veut d'un nombre irrationnel noté e proche de 2,7. Donner la valeur approchée de e obtenue pour n=1\:000 et n=100\:000 et comparer ce résultat à l'affichage de votre calculatrice pour \mathrm{e}^{1} (touche \mathrm{e}^{x} ou exp).

53

Au début d'une infection, la concentration de bactéries dans un organisme s'élevait à 1\:000 bactéries par mm³ de sang.

Pour tout entier naturel n, on note b_{n} le nombre de bactéries n jours après le début de l'infection.

On admet que le traitement antibiotique administré au malade permet de diviser chaque jour le nombre de bactéries par 3.

1. Justifier que b est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

2. Quel est le sens de variation de b ? Justifier.

3. Au bout de combien de temps la concentration de bactéries deviendra-t-elle inférieure à dix bactéries par mm³ ?

4. Compléter le programme Python suivant permettant de retrouver le résultat de la question 3.

def seuil() :
b = 1000
n = 0
while ... :
b = ...
n = ...
return ...
print(seuil())

54

Le bénéfice d'une entreprise de plomberie s'élevait à 10\:000 € en 2015. Durant les années suivantes, le bénéfice a augmenté de 3 % chaque année.

1. Justifier que le bénéfice peut être modélisé par une suite géométrique b dont on précisera les éléments caractéristiques.

2. Exprimer, pour tout entier naturel n, b_{n} en fonction de la raison de la suite et de son premier terme.

3. Calculer le bénéfice en 2016 et en 2022.

4. Quel est le bénéfice total cumulé qu'a réalisé l'entreprise entre 2015 et 2022 ?

55

On observe la croissance d'un nénuphar dans un étang de 200 m². Au début de l'observation, son aire vaut 0,5 m² et sa surface augmente de 10 % par jour.

1. Justifier que l'on peut modéliser la taille du nénuphar par une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

2. Calculer l'aire du nénuphar au bout de 10 jours.

3. À l'aide d'un outil numérique, déterminer au bout de combien de temps l'étang sera entièrement recouvert par le nénuphar selon cette modélisation.

56

On souhaite démontrer que, si u est une suite géométrique de raison q dont aucun terme n'est nul et de premier terme u(0), alors, pour tous entiers naturels n et p, u(n)=u(p) \times q^{n-1}.

1. Donner l'expression de u(n) en fonction de u(0), de q et de n.

2. Donner l'expression de u(p) en fonction de u(0), de q et de p.

3. a. En déduire alors l'expression de \frac{u(n)}{u(p)}.

b. Conclure.

60

Démontrer que les égalités suivantes sont vraies pour tout réel x.

1. \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}}=1-\mathrm{e}^{-x}

2. \frac{1}{e^{x}+1}=\frac{e^{x}-1}{e^{2 x}-1}

3. \left(e^{x}+e^{-x}\right)\left(e^{2 x}\right)^{2}=e^{3 x}\left(e^{2 x}+1\right)

61

Dans un repère orthonormé, on a tracé les courbes ci-dessous représentant les fonctions f, g, h, p et q définies sur \mathrm{R} par f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}, g(x)=\mathrm{e}^{x}, h(x)=\mathrm{e}^{2 x}, p(x)=\mathrm{e}^{-x} et q(x)=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{2}x}}.


Sachant que \mathrm{A} a pour coordonnées (1 ; e), associer chaque fonction à sa courbe représentative.