Soient a et b deux réels.
m>0 : a \lt b \Leftrightarrow m a \lt m b
\Leftrightarrow m a+p \lt m b+p \Leftrightarrow f(a) \lt f(b)
donc f est strictement croissante.

m \lt 0 : a \lt b \Leftrightarrow m a>m b
\Leftrightarrow m a+p>m b+p \Leftrightarrow f(a)>f(b)
donc f est strictement décroissante.

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Logique

On peut utiliser un raisonnement par l'absurde pour démontrer les réciproques.

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Propriété

f est une fonction affine impaire si et seulement si f est une fonction linéaire.
f est une fonction affine paire si et seulement si f est une fonction constante.

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Démonstration

Voir exercice

p. 111

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Application et méthode

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Utiliser les variations

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Énoncé

Soit a \in[-3\: ;-2] et g une fonction affine définie sur \mathbb{R} par g(x)=-4 x-5. Déterminer un encadrement de g(a).

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Méthode

1. On vérifie les variations de la fonction g .
2. La fonction est décroissante donc deux nombres et leur image sont classés dans l'ordre inverse.

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Solution

La fonction affine g est strictement décroissante car m = -4 et -4 \lt 0 donc :
-3 \leqslant a \leqslant-2
\Leftrightarrow g(-3) \geqslant g(a) \geqslant g(-2)
\Leftrightarrow 7 \geqslant g(a) \geqslant 3

Pour s'entraîner

Exercices 25
p. 105, 62
p. 109 et 63
p. 110.

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Utiliser la parité

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Énoncé

h est une fonction affine impaire telle que h(3) = 5. En déduire l'expression de h en fonction de x \in \mathbb{R}.

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Méthode

1. On détermine de quel type de fonction affine il s'agit en utilisant la propriété.
2. En utilisant la bonne définition et les valeurs de l'énoncé, on détermine l'expression de la fonction cherchée.

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Solution

h est une fonction affine et impaire : elle est donc linéaire.
Ainsi, il existe k \in \mathbb{R} tel que, pour tout x \in \mathbb{R}, h(x)=k x.
Puisque h(3)=5 alors 3 k=5 d'où k=\dfrac{5}{3}.
Pour tout x \in \mathbb{R}, h(x)=\dfrac{5}{3} x.

Pour s'entraîner

Exercices 25
p. 105.

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B
Signes

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Propriété

1. Si m \neq 0, alors f(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{p}{m}.

2. Si m > 0, alors {f(x>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{p}{m}}.

m > 0

Tableau: comportement fonction affine. Valeurs f(x) selon x. Illustration mathématique.

3. Si m > 0, alors {f(x)\lt0 \Leftrightarrow x\lt-\dfrac{p}{m}}.

m \lt 0

Tableau: étude mathématique d'une fonction affine, montrant l'évolution de f(x) selon x.

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Remarque

Si m = 0, f est du signe de p.

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Démonstration

Voir exercice

p. 111

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Conséquence

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l'aide de la propriété des signes d'un produit ou d'un quotient.

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Remarque

Faire attention à l'ensemble de définition de la fonction pour un quotient.

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Application et méthode

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Signes d'une fonction affine

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Énoncé

Dresser le tableau de signes de la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x) = -3x - 4.

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Méthode

1. On vérifie les variations de h.
2. On calcule la valeur qui annule h.
3. On complète le tableau de signes à l'aide de 1. et 2.

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Solution

h est strictement décroissante et h(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{-4}{-3}=-\dfrac{4}{3}

Tableau: étude de fonction affine, signe de h(x) selon les valeurs de x. Valeurs de x : -∞, -4/3, +∞. Signes de h(x) : +, 0, -.

Pour s'entraîner

Exercices 26
p. 105 et 65
p. 110

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Signe d'un produit

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Énoncé

Résoudre l'inéquation (3 x+2)(-2 x-1) \leqslant 0.

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Méthode

1. On détermine le signe de chaque facteur en utilisant la méthode précédente.
2. On résume le signe du produit sur la dernière ligne.
3. On donne l'ensemble des solutions.

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Solution

x \mapsto 3 x+2 est croissante sur \mathbb{R} et (3 x+2)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3}. x \mapsto-2 x-1 est décroissante sur \mathbb{R} et -2 x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}. En résumé :

Tableau d'étude de signe des fonctions affines 3x+2 et -2x-1, montrant le signe de leur produit selon les valeurs de x.

Ainsi, \left.(3 x+2)(-2 x-1) \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in]-\infty ; \frac{-2}{3}\right] \cup\left[\frac{-1}{2} ;+\infty[\right.

Pour s'entraîner

Exercices 27
p. 105, 71
p. 110 et 72
p. 111

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Mathématiques 2de

Étude d'une fonction affine

AVariation et parité

Remarque

Logique

Utiliser les variations

Méthode

Utiliser la parité

Méthode

BSignes

Remarque

Remarque

Signes d'une fonction affine

Méthode

Signe d'un produit

Méthode

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A
Variation et parité

B
Signes