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Pour les exercices
33
à
35
Déterminer si les fonctions données sont affines ou non en justifiant.
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33
[Calculer.]
1. f_{1}(x)=(-2 x+3)+(2-3 x)
2. f_{2}(x)=(-2 x+3)-(2-3 x)
3. f_{3}(x)=(-2 x+3)(2-3 x)
4. f_{4}(x)=3 x(-2 x+3)-2 x(2-3 x)
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34
[Calculer.]
1. g_{1}(x)=(x-1)^{2}-(x-1)
2. g_{2}(x)=(x-1)^{2}-(x+1)^{2}
3. g_{3}(x)=((x-1)+(x+1))^{2}
4. g_{4}(x)=x(x+1)-(x-1)^{2}
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35
[Calculer.]
1. h_{1}(x)=(\pi x-3)+(-\pi+3)
2. h_{2}(x)=(\pi x-3)+(-\pi+3) x
3. h_{3}(x)=(\pi x-3)(-\pi+3)
4. h_{4}(x)=\dfrac{\pi x-3}{-\pi+3}
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36
[Calculer.]
On définit trois fonctions affines à partir du tableau de valeurs suivant.
x
2
6
f_1(x)
-3
-3
f_2(x)
5
15
f_3(x)
-4
8
1. Lesquelles de ces fonctions sont linéaires ? Constantes ? Justifier.
2. Pour chaque fonction f, calculer l'expression \dfrac{f(6)-f(2)}{6-2} puis en déduire la forme algébrique de f.
3. Complétez le tableau de valeur suivant.
x
2
6
7
f_1(x)
-3
-3
f_2(x)
5
15
f_3(x)
-4
8
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37
[Calculer.]
On considère les fonctions affines suivantes. Lesquelles d'entre elles ont une représentation graphique passant par le point \text{C} de coordonnées (-3 \: ; 4) ?
1. f_{1}(x)=4 x-9
2. f_{2}(x)=-3 x-5 x
3. f_{3}(x)=-3 x+4
4. f_{4}(x)=4 x-3
5. f_{5}(x)=-\dfrac{7}{3} x-3
6. f_{6}(x)=4
7. f_{7}(x)=-3
8. f_{8}(x)=-\dfrac{4}{3} x
9. f_{9}(x)=-\dfrac{3}{4} x
10. f_{10}(x)=\dfrac{11}{6} x+\dfrac{19}{2}
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38
[Modéliser.]
Une unité de longueur est fixée. Dans chaque cas, exprimer la fonction A correspondant à l'aire de la figure donnée puis déterminer, en justifiant, si A est affine ou non.
1. Un carré de côté x.
2. Un rectangle dont les côtés ont pour longueur x et 5.
3. Un cercle de rayon x.
4. Un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueur x et 5.
5. Un triangle rectangle dont l'hypoténuse a pour longueur x et un côté a pour longueur 5.
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39
[Calculer.]
Soit g, la fonction affine définie pour tout x \in \mathbb{R} par g(x)=-7+4 x. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous avec les valeurs exactes.
x
-9
0
3
\dfrac{10}{3}
g(x)
-9
0
3
\dfrac{10}{3}
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40
[Calculer.]
Soit h, la fonction affine définie pour tout x \in \mathbb{R} par h(x)=-\dfrac{7}{3} x-1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous avec les valeurs exactes.
x
-3
\dfrac{-5}{7}
h(x)
0
\dfrac{4}{3}
\pi
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41
[Raisonner.]
On considère la proposition suivante : « Si f est une fonction linéaire alors f est une fonction affine et f(0) = 0. »
1. Montrer que cette proposition est vraie.
2. Énoncer sa contraposée. Est-elle vraie ?
3. Énoncer sa réciproque puis montrer qu'elle est vraie.
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42
[Calculer.]
Dans chaque cas, f est une fonction affine. Retrouver son expression algébrique.
1. f(5)=10 \text { et } f(10)=11
2. f(-7)=4 \text { et } f(4)=-7
3. f(-8)=0 \text { et } f(-1)=13
4. f(-1)=-5 \text { et } f(2)=-9
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43
[Chercher.]
1. Justifier que le tableau de valeurs suivant peut correspondre à une fonction affine f .
x
5
15
25
f(x)
-1
-9
-17
2. Déterminer alors l'expression algébrique de f.
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44
[Chercher.]
Le tableau suivant peut-il correspondre à une fonction affine ? Justifier.
x
6
10
12
f(x)
2
1
0,5
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45
[Modéliser.]
En 2006, la population d'éléphants d'Afrique était de 526 milliers. En 2016, celle-ci n'est plus que de 415 milliers. On modélise l'évolution de cette population par une fonction affine P.
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Répondre alors aux questions suivantes selon cette
modélisation.
1. Quelle était la population d'éléphants en 2015 et 2005 ?
2. Quelle sera la population d'éléphants en 2055 ? Interpréter le résultat.
3. Si rien n'est fait, quelle sera la dernière année avant l'extinction de l'espèce ?
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46
Démo
[Raisonner.]
On dit qu'un nombre u est un point fixe d'une fonction f lorsque f(u) = u.
1. Vérifier que 2 est un point fixe de f : x \mapsto-2 x+6.
2. Trouver une fonction affine sans point fixe. Justifier.
3. Montrer que si f est une fonction affine de coefficient directeur m \neq 1 et d'ordonnée à l'origine p alors \dfrac{p}{1-m} est un point fixe.
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47
Démo
[Raisonner.]
Démontrer la proposition suivante : « Si une fonction affine possède deux points fixes, alors elle en possède une infinité. »
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48
[Représenter.]
Dans un repère orthogonal du plan, représenter précisément les fonctions affines f, g, h et k définies respectivement sur \mathbb{R} par :
f(x)=\dfrac{4}{3} x-2\text{ }; g(x)=-\dfrac{5}{7} x
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49
[Représenter.]
Même consigne que l'exercice précédent avec : f(x)=-x+\dfrac{4}{3}\text{ }; g(x)=\dfrac{3}{2} x-\dfrac{2}{3}\text{ }; h(x)=-\dfrac{5}{3} x+\dfrac{5}{9}
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50
[Représenter.]
Deux fonctions affines f et g ont été représentées dans le repère (\text{O} ; \text{I} , \text{J}) ci-dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Retrouver l'expression algébrique de chacune de ces fonctions.
2. Déterminer graphiquement les solutions de f(x)=g(x) sur \mathbb{R}.
3. Déterminer graphiquement les solutions de f(x)>g(x) sur \mathbb{R}.
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51
[Représenter.]
Deux fonctions affines h et k ont été représentées dans le repère (\text{O} ; \text{I} , \text{J}) ci-dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Retrouver l'expression algébrique de chacune de ces fonctions.
2. Déterminer algébriquement les solutions de h(x) \lt k(x) sur \mathbb{R}.
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52
[Chercher.]
Il faut se méfier des apparences !
Donnez les expressions algébriques de chacune des quatre fonctions affines représentées ci-dessous.
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1.
2.
3.
4.
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53
Calculatrice
[Raisonner.]
Soient f, g et h les fonctions définies sur \mathbb{R} par f(x)=57, g(x)=2 x+1 et h(x)=1+2 \sqrt{x^{2}+784}.
1. À l'aide de la calculatrice, ou de GeoGebra, a. représenter les fonctions sur l'intervalle [-4\: ; 4] dans une fenêtre adaptée : que peut-on remarquer ?
b. représenter les fonctions sur l'intervalle [90\: ; 200] dans une fenêtre adaptée : que peut-on remarquer ?
GeoGebra
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2. Donner les valeurs exactes de h(0) ; h(96) et h(195) puis en déduire que h n'est pas une fonction affine.
3. Expliquer les observations de la question 1.
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54
[Communiquer.]
Pendant le cours de mathématiques sur les fonctions affines, un élève a écrit le prénom d'une de ses camarades dans un repère orthonormé.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Pour s'amuser, le professeur lui demande de transmettre à celle-ci les instructions nécessaires pour reproduire cette figure sur GeoGebra en utilisant seulement la représentation de fonctions affines. Comment faire ?
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55
[Chercher.]
On a représenté une fonction affine f dans le repère (\text{O} ; \text{I} , \text{J}) ci-dessous.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
1. Représenter dans le repère la fonction affine g telle que : g(x) = 3 \Leftrightarrow x = -5 et g(x) = f(x) \Leftrightarrow x = 3.
2. Représenter dans le repère la fonction affine h telle que : h(x) \lt 2 \Leftrightarrow x \in[0 \:;+\infty[ et h(x) \geqslant f(x) \Leftrightarrow x \in]-\infty \:; 1].
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56
[Chercher.]
Soient f et g, deux fonctions affines définies sur \mathbb{R} par f(x)=-\dfrac{1}{3} x+1 et g(x)=x-\dfrac{5}{3}.
Résoudre dans \mathbb{R} et interpréter graphiquement : f(x)=g(x) et f(x) \geqslant g(x).
Aide
Pour se donner une idée de la solution, on peut représenter graphiquement ces fonctions.
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57
[Chercher.]
Soient f et g, deux fonctions affines définies sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{3}{4} x-2 et g(x)=2 x+5.
Résoudre dans [-5\: ;1] et interpréter graphiquement : f(x)=g(x) et f(x) \lt g(x).
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58
[Raisonner.]
Soient a un réel et g une fonction affine définie sur \mathbb{R} telle que g(a+5)-g(a)=-10.
Déterminer la valeur des expressions suivantes : g(15)-g(5) ; g(100)-g(105) ; g(a+5)-g(a-5) ; g(a+20)-g(a) ; g(a)-g(a+100).
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59
[Chercher.]
f est une fonction affine définie sur \mathbb{R} par f(x)+f(-x)=1 et f(4)=1.
1. Calculer f(0).
2. Déterminer l'expression algébrique de f .
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60
[Représenter.]
Soient f et g les deux fonctions linéaires représentées ci-dessous.
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61
[Chercher.]
Soient f et g deux fonctions affines définies sur \mathbb{R} par
f(x)=2 \Leftrightarrow x=-3 ; g(x)=0 \Leftrightarrow x=2 et f(x) \leqslant g(x) \Leftrightarrow x \in[1\: ;+\infty[.
On note C_f et C_g les courbes représentatives respectives
de f et g dans un repère orthonormé.
1. Déterminer les coordonnées d'un point de C_f puis d'un point de C_g.
2. Déterminer la droite à laquelle le point d'intersection de C_f et de C_g doit appartenir.
3. Démontrer que le point d'intersection de C_f et C_g a pour coordonnées (1\: ; k) où k est un réel non nul strictement inférieur à \dfrac{2}{5}.
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